szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 lut 2017, o 10:25 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
Witam! Mam problem z takim zadaniem:

Rozwiąż schemat rekurencyjny
a _{n+2} - 4a _{n+1} + 3 a _{n} = -200
a _{0} = 3000, a _{1}  = 3300
metodą rozkładu na równanie jednorodne i niejednorodne.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lut 2017, o 13:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
To bardzo standardowe zadanie. Równanie jednorodne:
a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=0
Jego równanie charakterystyczne wygląda więc tak:
r^2-4r+3=0 \Leftrightarrow (r-1)(r-3)=0
Stąd widać, że rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać
C_1 \cdot 1^n+C_2\cdot 3^n
Następnie przewidujesz rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego
a _{n+2} - 4a _{n+1} + 3 a _{n} = -200
w postaci a\cdot n+b dla pewnych a,b \in \RR
Podstawiając do równania:
a \cdot (n+2)+b-4(a \cdot (n+1)+b)+3(a \cdot n+b)=-200\\-2a=-200\\a=100
Zaś jak widać, b może być dowolne, niechaj więc b=0.
Czyli rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego jest postaci 100n
i rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego ma wobec tego postać
a_n=C_1+C_2 \cdot 3^n+100n
Podstawiając n=0, n=1 kolejno i korzystając z warunków początkowych a _{0} = 3000, a _{1} = 3300, dostajesz układ równań na stałe C_1, C_2 - pozostawiam Ci ułożenie i rozwiązanie go.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lut 2017, o 16:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 22
Lokalizacja: Ziemia
Dużo lepiej się to robi za pomocą funkcji...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lut 2017, o 16:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
...tworzących. Co kto lubi. Faktem jest, że metoda przewidywań jest czasem nieintuicyjna (zależy od tego, kto jaką ma intuicję - moja jest słaba) i trzeba więcej pamiętać, żeby ją stosować.

-- 20 lut 2017, o 16:41 --

W każdym razie akurat taki przykład idzie z funkcji tworzących natychmiastowo, ale ogólnie jest on łatwy (a to, co napisała Gera, wskazuje na wymóg zastosowania użytej przeze mnie metody). Słabością metody funkcji tworzących jest to, że czasami naprawdę niesamowity syf powstaje przy ewentualnym rozkładzie na ułamki proste, niemniej jednak jest ona o wiele bardziej uniwersalna niż równanie charakterystyczne+metoda przewidywania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 jak rozwiązać rekurencje - zadanie 2  JakubCh  2
 Rozwiązać równanie - zadanie 200  mainik  2
 Rozwiązać kongurencję  JAzz  1
 Rozwiązać zagadnienie Cauchyego dla równania różnicowego  asia148  3
 rozwiązać równanie przy pomocy funkcji tworzącej  groncholm  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl