szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lut 2017, o 01:37 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Warszawa
Witam. Nie byłem pewien w jakim dziale powinno znaleźć się to zadanie. W razie czego prosiłbym o przeniesienie.

Mam problem z następującym zadaniem:
Cytuj:
Wiadomo, że w trójkącie EGH kąt przy wierzchołku E ma miarę 81^{\circ},
przy wierzchołku G - 27^{\circ}, a przy wierzchołku H - 72^{\circ}.

Udowodnij, że \frac{(z-x)(z+x)(z-x)}{xy^{2}} = 1,
gdzie x, y oraz z oznaczają kolejno długości boków tego trójkąta od najkrótszego do najdłuższego.


Udało mi się dojść do czegoś takiego:
\sin 27^{\circ}z = \sin 81^{\circ}x oraz \sin 72^{\circ} z = \sin 81 ^ {\circ}y

Próbowałem w ten sposób zamienić x i y, ale ilość obliczeń mnie przeraża :roll:
Wierzę, że ktoś znajdzie bardziej błyskotliwy sposób i podzieli się nim ze mną :mrgreen:
Z góry dzięki za pomoc.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 23 lut 2017, o 02:02 
Użytkownik

Posty: 349
Lokalizacja: Polska
Ale wszystkie zależności są fajne i użyteczne i wcale się nie zaliczysz :D

\sin 81^{\circ} = \sin \frac{162}{2}^{\circ} = \sqrt{\frac{1-\cos 162^{\circ}}{2}} = \sqrt{\frac{1+\sin 72^{\circ}}{2}}

To samo:

\sin 27^{\circ} = \sin \frac{54}{2}^{\circ} = \sin \frac{108}{4}^{\circ} = \sqrt{\frac{1-\cos \frac{108}{2}^{\circ}}{2}} =\sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{1-\cos 72^{\circ}}{2}}}{2}}

Teraz jeszcze możesz skorzystać z faktu:

\cos 72 ^ {\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}

W razie udowodnienia - udowadnia się to z własności pięciokąta foremnego; można to chyba uznać za oczywistość, jeśli wie się, że dł. przekątnej pięciokąta foremnego o boku a wynosi \phi a, gdzie \phi to złoty podział (a nawet jak się tego nie wie, to można to sobie wyprowadzić :P)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trojkat, trudne zadanie. licze na pomoc  Areus  2
 trójkat i odcinki  mol_ksiazkowy  1
 Trójkąt prostokątny - zadanie 90  qwed  3
 Okręg o promieniu 1 cm jest wpisany w trójkąt równoramienny  Cebek  6
 Twierdzenie Talesa (trapez i trójkąt)  Imper  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl