szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 lut 2017, o 15:58 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Wrocław
Nie do końca radzę sobie z nierównościami w indukcji, chciałabym tylko żeby ktoś zerknął czy dobrze rozumuje i czy zadanie jest prawidłowo rozwiązane

Udowodnij, że dla każdego n \in \NN zachodzi nierówność
1+2 \cdot 3+3 \cdot 3 ^{2}+4 \cdot 3 ^{3}+...+n \cdot 3 ^{n-1}  \ge  \frac{2n-1}{4} \cdot 3 ^{n}

no to krok 1 sprawdzam czy moje T(n) działa dla n=1 i działa(pozwolicie,że pominę to działanie tutaj)
2) Jeżeli T(n) działa, to działa też dla T(n+1),    T(n)  \Rightarrow  T(n+1)

\frac{2n-1}{4} \cdot 3 ^{n}+(n+1) \cdot 3 ^{n} \ge  \frac{2(n+1)-1}{4} \cdot  3^{n+1} \\
 3 ^{n}( \frac{2n-1+4n+4}{4}) \ge  3^{n} \cdot 3 \cdot  \frac{2n+2-1}{4} / :3 ^{n} \\
 \frac{6n+3}{4} \ge  \frac{6n+3}{4}
3) na mocy ind. mat ...
no i wychodzi, że są równe, co generalnie jest prawdą, bo znak dopuszcza równość, ale jak już wspomniałam, nierówności to jest coś w czym się jeszcze gubię i zastanawiam się,czy wszystkie założenia są dobre oraz moje obliczenia są poprawnie sformułowane :?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 lut 2017, o 16:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Twoje założenie indukcyjne:
1+2 \cdot 3+3 \cdot 3 ^{2}+4 \cdot 3 ^{3}+...+n \cdot 3 ^{n-1} \ge \frac{2n-1}{4} \cdot 3 ^{n}

Teza indukcyjna:
1+2 \cdot 3+3 \cdot 3 ^{2}+4 \cdot 3 ^{3}+...+(n+1) \cdot 3 ^{n} \ge \frac{2n+1}{4} \cdot 3 ^{n+1}

Posługując się założeniem indukcyjnym, należy udowodnić tezę. Jeśli chodzi o nierówności i indukcję, to zwykle trzeba przekształcić jakoś nierówność będącą założeniem indukcyjnym. W naszym przykładzie dodamy obustronnie ostatni składnik sumy z tezy czyli (n+1) \cdot 3^{n}

-- 26 lut 2017, o 15:38 --

Po prawej stronie nierówności otrzymamy wtedy: \frac{2n-1}{4} \cdot 3^{n}+(n+1) \cdot 3^{n} = \frac{6n+3}{4} \cdot 3^{n}= \frac{2n+1}{4} \cdot 3^{n+1}

czyli mamy nierówność 1+2 \cdot 3+3 \cdot 3 ^{2}+4 \cdot 3 ^{3}+...+(n+1) \cdot 3 ^{n} \ge \frac{2n+1}{4} \cdot 3^{n+1} a to jest już nasza teza.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 lut 2017, o 17:50 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Wrocław
od czego zależy, co muszę dodać przy nierównościach? bo chyba właśnie z tym mam największy problem.
edit;
dobra, rozgryzłam :) dziękuje!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij, że dla n naturalnych zachodzi 100n<2^n+577  m  1
 Uogólniona nierówność Bernoulliego  Anonymous  10
 Indukcja matematyczna - podzielność liczby  Effi  3
 indukcja matematyczna-nierówność  Qasi  5
 Nierówność-indukcja-jak?  Kaszim  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl