szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2017, o 11:24 
Użytkownik

Posty: 13582
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wiadomo, że dla a,b,p,q> i takich, że \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 zachodzi nierówność Younga
\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\geq ab.

Pokaż, że gdy a<1<b, to zachodzi nierówność mocniejsza:
\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\geq a+b-1>ab.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2017, o 12:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10812
Lokalizacja: Wrocław
Nierówność a+b-1>ab jest oczywista, gdy a<1<b, zwija się bowiem do:
(b-1)(1-a)>0
Wykażę, że gdy 0<a<1<b oraz p,q >1, \frac 1 p+\frac 1 q=1, to
\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\geq a+b-1
Z nierówności Bernoulliego mamy
\frac{b^q}{q}= \frac{(1+b-1)^q}{q} \ge  \frac{1}{q}+b-1
Pozostaje wykazać, że
\frac{a^p}{p}+ \frac{1}{q} \ge a
Rozważmy funkcję pomocniczą
f(a)= \frac{a^p}{p} -a+ \frac{1}{q} dla a \in [0,1]. Wówczas
f(1)= \frac{1}{p}+ \frac{1}{q}-1=0, bo \frac 1 p+\frac 1 q=1.
Ponadto f(0)=\frac 1 q>0, f'(a)=a^{p-1}-1<0 dla a \in (0,1), gdyż p>1. Zatem f jest malejącą w (0,1), co w połączeniu z f(1)=0 daje nam \frac{a^p}{p} -a+ \frac{1}{q}>0 dla a \in (0,1), a z tego i z poprzedniej nierówności natychmiast wynika teza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2017, o 12:40 
Użytkownik

Posty: 13582
Lokalizacja: Bydgoszcz
OK. Nie trzeba aż tyle. Wystarczy dwie nierówności
\frac{b^q}{q}= \frac{(1+b-1)^q}{q} \ge \frac{1}{q}+b-1
\frac{a^p}{p}= \frac{(1+a-1)^p}{p} \ge \frac{1}{p}+a-1
dodac stronami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2017, o 12:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10812
Lokalizacja: Wrocław
Faktycznie, zapomniałem, że nierówność Bernoulliego działa dla większych od -1, nie muszą być dodatnie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ograniczoność funkcji. Nierówność na kresach.  reksiak  0
 nierówność Jensena  Mapedd  1
 Udowodnic nierównoSC - zadanie 2  marcin111  5
 rozwiąz nierówność  prezio1988  3
 rozwiązać nierówność - zadanie 2  ami88  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl