szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2017, o 19:42 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Szczecin
Witam
Nie mam bladego pojęcia jak to zrobić. Nawet zobaczenie rozwiązania nie pomogło.

Jest to zadanie 1.1 z książki Henryka Pawłowskiego ,,Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata" (ta niebieska).

Udowodnij, że liczba n! \ (=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots \cdot n) jest podzielna przez sumę
1+2+3+\ldots+n wtedy i tylko wtedy, gdy n+1 nie jest liczbą pierwszą nieparzystą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2017, o 19:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5630
1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2017, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Szczecin
kerajs napisał(a):
1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2}


Znam ten wzór tylko dalej nie wiem jak mam go wykorzystać i co mam z nim zrobić. :cry:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2017, o 20:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5630
\frac{n!}{1+2+..+n}= \frac{n!}{ \frac{n(n+1)}{2} }= \frac{(n-1)! \cdot 2}{n+1}

A jeśli
Cytuj:
n+1 nie jest liczbą pierwszą nieparzystą
to ......

Ps. Sprawdź dodatkowo podzielność przy n=2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2017, o 21:01 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Szczecin
Że też na to nie wpadłem. :lol:

Tylko, że to chyba nie wystarczy, żeby uznać zadania za zrobione. Nie wiem jak mógłby wyglądać pełnoprawny dowód.(Albo kroki, które musiałbym wykonać, żeby takowy przeprowadzić)

Rozpatrzyć przypadki dla n parzystego i nieparzystego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2017, o 22:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 406
Lokalizacja: Warszawa
Nie trzeba, jeśli n+1 nie jest pierwsze, nieparzyste, to rozkłada się na dwa czynniki mniejsze od n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2017, o 22:54 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Szczecin
Dzięki! Już teraz rozumien.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2017, o 23:02 
Użytkownik

Posty: 13261
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ale n+1 może być kwadratem liczby pierwszej i wtedy nie od razu widać, że \frac{(n-1)!}{n+1} jest całkowite
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2017, o 00:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 434
Lokalizacja: Glasgow
a4karo, można chyba łatwo udowodnić, że jeżeli n+1 jest kwadratem liczby pierwszej, to n! jest podzielne przez n+1.

Przyjmijmy p^2 = n+1 oraz zauważmy, że 2p < n+1 dla p>2. Ponieważ p|2p, to p^2 = n+1 dzieli n!. Może się tak zdarzyć, że 2p=n, ale wtedy z równości n+1 = p^2 otrzymujemy sprzeczność. Stąd n+1 dzieli (n-1)!.

Przypadek, gdy p=2 i n=3 należy rozpatrzeć osobno, ale to łatwe, bo \frac{(n-1)! \cdot 2}{n+1} zachodzi.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl