szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2017, o 07:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 64
Lokalizacja: Polska
Witam. Prosiłbym aby ktoś potwierdził czy dobrze zrobiłem,
bo książka sugeruje, że to jakieś "trudniejsze" zadania a jakoś poszło tak "raz-dwa"
i dość zwyczajnie... Trochę to podejrzane :?

(a) Wykaż, że jeśli x+y+z=0, to xy+yz+zx \leq 0.

Przekształcam założenie, najpierw podnosząc do potęgi 2 obustronnie:
(x+y)+z=0 \Leftrightarrow
\left( x^2 + 2xy + y^2 \right) + 2z(x+y) + z^2 = 0 \Leftrightarrow
x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2zy=0  \Leftrightarrow
x^2+ y^2 + z^2 =-2(xy+yz+zx) \Leftrightarrow
xy+yz+zx= -\frac{1}{2} \left( x^2 + y^2 + z^2  \right)
Ponieważ kwadrat dow. liczby rzeczywistej jest dodatni, suma trzech liczb dodatnich jest dodatnia,
to liczba ( x^2 + y^2 + z^2 ) jest dodatnia, zatem ostatecznie
xy+yz+zx= -\frac{1}{2} \left( x^2 + y^2 + z^2  \right) \leq 0
c.n.d.

(b) Niech x i y będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, takimi że x \geq y. Wykazać, że zachodzi nierówność x^4+y^4 \geq 2xy^3.

Zachodzi: ( x^2 )^2 + ( y^2 )^2 \geq 2x^2 y^2. (Sprowadzanie do kwadratu, nierówność między średnimi, etc.)
Dalej, z założenia x \geq y \Rightarrow xy \geq y^2 \Rightarrow  2xy \geq 2y^2 \Rightarrow 2xy^2 \geq 2y^3
\Rightarrow 2x^2 y^2 \geq 2xy^3
Ostatecznie: {\red x^4 + y^4 } = (x^2 )^2 +(y^2 )^2 \geq 2 x^2 y^2 \geq {\red 2 x y^3 }
c.n.d. o_0

Dobrze??? :?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2017, o 07:39 
Użytkownik

Posty: 12582
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cóż, to czy trudne, czy nie jest kwestią indywidualną. Dla Ciebie proste (co pokazałeś), dla 90% moich studentów nie do przejścia :(
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 13 mar 2017, o 10:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
Zaratustra, zmień w (a) "dodatni" na "nieujemny" i będzie świetnie. Pomysł jak najbardziej OK (w (b) też jest dobrze).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2017, o 21:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 64
Lokalizacja: Polska
Premislav napisał(a):
Zaratustra, zmień w (a) "dodatni" na "nieujemny" i będzie świetnie. Pomysł jak najbardziej OK (w (b) też jest dobrze).


A wiecie, to śmieszne ale na papierze wszędzie w zadaniach ostatnio robionych piszę "nieujemny"(w ogóle zwracam na to uwagę) a tu przepisałem źle, chociaż na papierze mam dobrze :o

W każdym razie dziękuję, mogę spokojnie zasuwać dalej :mrgreen:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż, że jeżli dla trzech liczb...  Tomcat  9
 Wykaż, że liczba jest podzielna  Lakus1411  1
 Wykaż prawdziwość implikacji 2  MathMaster  17
 udowodnij i wykaz  marekz  5
 wykaz nierównosci  wiedzma  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl