szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2017, o 22:26 
Użytkownik

Posty: 164
Przygotowuję się do finału AGH i przerabiając zadania z poprzednich lat natknąłem się na pewne, które sprawia mi sporo trudności. Jest to zadanie 6 z finału 2011/2012. Treść:

Dla jakich m równanie \log _3(x-m) + \log _3(x) = \log _3(3x - 4) ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych?

Warunki jakie muszą być spełnione, aby równianie miało sens to x > 0, x > m, x > \frac{4}{3} czyli x > \max  \left( m, \frac{4}{3} \right).

Korzystając z tego że logarytm jest funkcją różnowartościową oraz, że \log  \left( a \right)  + \log  \left( b \right)  = \log  \left( ab \right), otrzymuję x \left( x-m \right)  = 3x - 4, czyli x^2 -  \left( m + 3 \right) x + 4 = 0, zatem \Delta =  \left( m + 3 \right) ^2 - 16 = (m - 1)(m + 7). Jeśli m = 1 to x = 2, co spełnia założenia. Jeśli m = -7 to x = -2 co nie spełnia założeń. Jeśli m \in (-\infty, -7) \cup (1, \infty) to mamy dwa rozwiązania x_1, x_2, ale trzeba sprawdzić dla jakich m zajdzie taka sytuacja że jedna z tych liczb spełnia założenia, a druga nie. Przyjmując, że x_1 > x_2, będę musiał znaleźć takie m, że x_1 > \max  \left( m, \frac{4}{3} \right) i jednocześnie x_2 \le \max  \left( m, \frac{4}{3} \right). Sprawdzanie tych warunków poprzez podstawienie x_1 = \frac{m + 3 + \sqrt{(m + 3)^2 - 16}}{2} oraz x_2 =  \frac{m + 3 - \sqrt{(m + 3)^2 - 16}}{2} byłoby najpewniej długie i żmudne. Czy da się to jakoś prościej zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2017, o 23:29 
Użytkownik

Posty: 777
Lokalizacja: Polska
\Delta = \left( m + 3 \right) ^2 - 16 = \left( m - 1 \right) \left( m + 7 \right)

Deltę źle policzyłeś :V

\Delta = \left( m+3 \right) ^2 + 16
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2017, o 08:43 
Użytkownik

Posty: 164
Dobrze policzyłem, tylko źle przepisałem równanie ze strony (zamiast 3x - 4 napisałem wcześniej 3x + 4).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2017, o 21:36 
Użytkownik

Posty: 22747
Lokalizacja: piaski
Z Viete'a próbowałeś ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2017, o 21:47 
Użytkownik

Posty: 164
Nie wiem jak wzory Viete'a mogłyby pomóc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2017, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 22747
Lokalizacja: piaski
Źle - sorki.
Ustawić tak parabolę (lewą stronę równania potraktować jak funkcję) aby pierwiastki były po obu stronach tego max (no jeden może być w max).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2017, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 679
Lokalizacja: Polska
Podstawić do równania wyjściowego:
skoro m=-7 to x=-2
\log _3(-2-7) + \log _3(-2) = \log _3(3(-2) - 4)
te rozwiązanie odpada
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2017, o 16:46 
Użytkownik

Posty: 164
Elayne, przeczytaj co napisałem. Pierwiastki wielomianu MUSZĄ należeć do dziedziny logarytmu, więc może być taka sytuacja, że wielomian ma dwa pierwiastki i jeden z nich należy do dziedziny, a drugi nie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2017, o 18:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 341
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Nie gwarantuję poprawności, proponowałbym to rozważyć w dwóch przypadkach:

a)
m \ge  \frac{4}{3}
b)
\frac{4}{3}  \ge m

Wtedy dla a)

x_1>m \\
x_2 \le m

Więc wystarczy że dla x_1>x_2 mamy:

\begin{cases}f(m) \le 0 \\ x_1 \neq m \end{cases}

Niestety musimy rozważyć ten drugi warunek: x_1  \neq  m , co jest też trochę koszmarne, ale nie aż tak bardzo jak to co miałeś do wyboru. b) analogicznie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sie 2018, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Kraków
Założenia (z definicji logarytmu):
x>m \: \wedge \: x> \frac{4}{3}

Wyjściowe równanie możemy zapisać następująco:

\log_{3}{x(x-m)}=\log_{3} (3x-4)

i korzystając z injektywności funkcji logarytmicznej mamy:

x(x-m)=3x-4

co prowadzi nas do równania kwadratowego

x^2-(m+3)x+4=0 \:\: (\star)

Wyjściowe równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie (w zbiorze liczb rzeczywistych) gdy spełniony jest jeden z poniższych warunków.

Przypadek 1.
Równanie (\star) ma tylko jedno rozwiązanie, które spełnia założenia. Aby miało ono jedno rozwiązanie to wyróżnik tego równania musi wynosić 0. Zatem:
\Delta=m^2+6m-7=0 \Leftrightarrow m \in \{-7, 1\} (Pierwiastki wyliczone ze wzorów Viete'a)
Dla m=-7 pierwiastkiem równania (\star) jest x=-2, który nie spełnia założeń \left(-2<\frac{4}{3}\right).

Dla m=1 otrzymujemy x=2, który spełnia oba założenia.

Przypadek 2.
Równanie (\star) ma dwa rozwiązania, ale tylko jedno z nich spełnia założenia.
Zauważmy, że współczynnik kierunkowy równania (\star) jest dodatni zatem warunkiem koniecznym i wystarczającym jest: f\left(\frac{4}{3}\right)<0  \wedge f(m)<0, gdzie f(x):=x^2-(m+3)x+4

Z pierwszej nierówności otrzymujemy:
\frac{16}{9} - \frac{4}{3} (m+3)+4<0 \: |\cdot 9 \medskip\\
16-12m-36+36<0 \medskip \\
m>\frac{4}{3}

Z drugiej nierówności otrzymujemy:
m^2-m(m+3)+4<0 \medskip \\
m^2-m^2-3m+4<0 \medskip \\
m>\frac{4}{3}

Ostatecznie m \in \{1\} \cup \left(\frac{4}{3}, +\infty\right).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiąż graficznie równanie - zadanie 6  Anonymous  17
 Rozwiąż równanie logarytmiczne - zadanie 26  Anonymous  2
 Rozwiąż równanie logarytmiczne - zadanie 27  Anonymous  3
 Rozwiąż równanie wykładnicze - zadanie 26  Anonymous  6
 Rozwiąż równanie  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl