szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2017, o 15:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 95
Witam wszystkich!

W jaki sposób zabrać się do udowodnienia, że dla n \geq 1 zachodzi \sum_{k=1}^{n} \left \lfloor{ \frac{k}{2} }\right \rfloor = \left \lfloor{ \frac{n^2}{4} }\right \rfloor?

Próbowałem indukcyjnie i doszedłem do tego:
  • n=1
    Zachodzi, ponieważ \sum_{k=1}^{1} \left \lfloor{ \frac{k}{2} }\right \rfloor = \left \lfloor{\frac{1}{2}} \right \rfloor= \left \lfloor{\frac{1}{4}} \right \rfloor = 0
  • n+1
    Chcemy sprawdzić czy zachodzi również następująca równość:
    \sum_{k=1}^{n+1} \left \lfloor{ \frac{k}{2} }\right \rfloor = \left \lfloor{ \frac{(n+1)^2}{4} }\right \rfloor

    \sum_{k=1}^{n+1} \left \lfloor{ \frac{k}{2} }\right \rfloor = \sum_{k=1}^{n} \left \lfloor{ \frac{k}{2} }\right \rfloor + \left \lfloor{ \frac{n+1}{2} }\right \rfloor = \left \lfloor{ \frac{n^2}{4} }\right \rfloor + \left \lfloor{ \frac{n+1}{2} }\right \rfloor

Niestety nie wiem jak to poprowadzić dalej.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 mar 2017, o 15:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11868
Lokalizacja: Wrocław
Nie wiem, czy nie prościej jest zauważyć, że
\left[  \frac{k}{2} \right]= \begin{cases}  \frac{k}{2} \text{ gdy } 2|k  \\  \frac{k-1}{2} \text{ gdy } 2\nmid k \end{cases}, zatem gdy n=2m dla pewnego m \in \NN, to
\sum_{k=1}^{n}\left[  \frac{k}{2} \right]= \sum_{k=1}^{m}k + \sum_{k=1}^{m}(k-1)= \frac{m(m+1)}{2}+ \frac{m(m-1)}{2}=m^2=\\=\left[  \frac{(2m)^2}{4} \right] =\left[  \frac{(n)^2}{4} \right]
zaś gdy n=2m+1, to
\sum_{k=1}^{n}\left[  \frac{k}{2} \right]= \sum_{k=1}^{m}k + \sum_{k=1}^{m+1}(k-1)=m(m+1)= \frac{4m^2+4m}{4}=\\= \frac{(2m+1)^2-1}{4}=\left[  \frac{(2m+1)^2}{4} \right] =\left[  \frac{n^2}{4} \right]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2017, o 15:53 
Moderator

Posty: 1963
Lokalizacja: Trzebiatów
Analogicznie z dowodem indukcyjnym jak Premislav pokazał ( rozbijamy ) :
dla n = 2k + 1 mamy
\left \lfloor{ \frac{n^2}{4} }\right \rfloor + \left \lfloor{ \frac{n+1}{2} }\right \rfloor = \left \lfloor{ \frac{4k^{2}+4k+1}{4} }\right \rfloor + \left \lfloor{ \frac{2k+2}{2} }\right \rfloor = k^{2} + k + k + 1 = \left( k+1\right)^{2} =  \frac{\left( 2k+2\right) ^{2}}{4} = \left \lfloor{ \frac{\left( 2k+2\right)^{2} }{4} }\right \rfloor = P
Ostatni przypadek analogicznie dla n = 2k
Oczywiście to moje k nie jest powiązane z indeksem w pierwszym poście.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2017, o 16:44 
Użytkownik

Posty: 14748
Lokalizacja: Bydgoszcz
Dobra, a gdzie jest szereg?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 mar 2017, o 16:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11868
Lokalizacja: Wrocław
Ponieważ spora część studentów widzi pierwszy raz zapis z sigmą przy nauce szeregów, więc potem myślą oni, że wszędzie tam, gdzie się pojawia znak \sum_{}^{}, mają do czynienia z szeregiem. :cry:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2017, o 18:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 95
Czemu tutaj pod znakiem sumy pojawia się samo k i k-1? Chodzi konkretnie o ten fragment:
\sum_{k=1}^{n}\left[ \frac{k}{2} \right]= \sum_{k=1}^{m}k + \sum_{k=1}^{m}(k-1) = \ldots

Oraz czy przed znakami sumy po pierwszej równości nie powinno być wyłączone \frac{1}{2}?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 mar 2017, o 19:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11868
Lokalizacja: Wrocław
Tam rozważam przypadek n=2m. Rozbijam na sumę po indeksach parzystych i po indeksach nieparzystych:
\sum_{k=1}^{2m}\left[  \frac{k}{2} \right]= \sum_{1 \le k \le 2m: 2|k}^{}\left[  \frac{k}{2} \right]+\sum_{1 \le k \le 2m: 2\nmid k}^{}\left[  \frac{k}{2} \right]=\\=\left(\left[  \frac{2}{2} \right]+\left[ \frac{4}{2}\right]  +\dots+\left[ \frac{2m}{2}  \right]    \right)+\left(\left[ \frac{1}{2}  \right]+\left[  \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2}  \right]    \right)
i zauważam, że gdy k jest nieparzyste, to \left[  \frac{k}{2} \right] =\left[  \frac{k-1}{2} \right].
Stąd \left(\left[ \frac{1}{2} \right]+\left[ \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2} \right] \right)=\left(\left[ \frac{0}{2} \right]+\left[ \frac{2}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-2}{2} \right] \right)
i cała suma:
\left(\left[  \frac{2}{2} \right]+\left[ \frac{4}{2}\right]  +\dots+\left[ \frac{2m}{2}  \right]    \right)+\left(\left[ \frac{1}{2}  \right]+\left[  \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2}  \right]    \right)= \\=\sum_{k=1}^{m}k+ \sum_{k=1}^{m}(k-1),
bo oczywiście dla l \in \NN mamy \left[  \frac{2l}{2} \right]=l
Rzecz jasna, na swój użytek tego tak nie rozpisywałem, jedynie chciałem to w miarę klarownie wytłumaczyć.

-- 14 mar 2017, o 18:07 --

Aha, nie zauważyłem drugiego pytania. Możesz zacytować fragment, do którego się odnosisz? Nie widzę, gdzie tu by miała być jakaś \frac 1 2. Być może niepotrzebnie użyłem dwa razy do indeksowania k i przez to miałeś wrażenie, że to jest dokładnie to k, co wcześniej. To nie jest konflikt oznaczeń, ale mogło to zbijać z tropu.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Mały problem z funkcją tworzącą  kogutto  1
 Ile jest liczb...; funkcja tworząca; wzór jawny.  marta81  1
 funkcja generująca  iwazach  0
 Dwa zadania: metoda wlaczen i wylaczen oraz funkcja tworzaca  Zajec  1
 Grafy, funkcja tworzaca  miglanc  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl