Tam rozważam przypadek

. Rozbijam na sumę po indeksach parzystych i po indeksach nieparzystych:
![\sum_{k=1}^{2m}\left[ \frac{k}{2} \right]= \sum_{1 \le k \le 2m: 2|k}^{}\left[ \frac{k}{2} \right]+\sum_{1 \le k \le 2m: 2\nmid k}^{}\left[ \frac{k}{2} \right]=\\=\left(\left[ \frac{2}{2} \right]+\left[ \frac{4}{2}\right] +\dots+\left[ \frac{2m}{2} \right] \right)+\left(\left[ \frac{1}{2} \right]+\left[ \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2} \right] \right) \sum_{k=1}^{2m}\left[ \frac{k}{2} \right]= \sum_{1 \le k \le 2m: 2|k}^{}\left[ \frac{k}{2} \right]+\sum_{1 \le k \le 2m: 2\nmid k}^{}\left[ \frac{k}{2} \right]=\\=\left(\left[ \frac{2}{2} \right]+\left[ \frac{4}{2}\right] +\dots+\left[ \frac{2m}{2} \right] \right)+\left(\left[ \frac{1}{2} \right]+\left[ \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2} \right] \right)](/latexrender/pictures/a/d/add0bbcf340dd9daa3af24069c9df6b4.png)
i zauważam, że gdy

jest nieparzyste, to
![\left[ \frac{k}{2} \right] =\left[ \frac{k-1}{2} \right] \left[ \frac{k}{2} \right] =\left[ \frac{k-1}{2} \right]](/latexrender/pictures/6/7/6705048dbf807af4c518cd7a83093ea5.png)
.
Stąd
![\left(\left[ \frac{1}{2} \right]+\left[ \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2} \right] \right)=\left(\left[ \frac{0}{2} \right]+\left[ \frac{2}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-2}{2} \right] \right) \left(\left[ \frac{1}{2} \right]+\left[ \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2} \right] \right)=\left(\left[ \frac{0}{2} \right]+\left[ \frac{2}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-2}{2} \right] \right)](/latexrender/pictures/9/5/95bfff2a8763995cddb99b55702eda00.png)
i cała suma:
![\left(\left[ \frac{2}{2} \right]+\left[ \frac{4}{2}\right] +\dots+\left[ \frac{2m}{2} \right] \right)+\left(\left[ \frac{1}{2} \right]+\left[ \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2} \right] \right)= \\=\sum_{k=1}^{m}k+ \sum_{k=1}^{m}(k-1) \left(\left[ \frac{2}{2} \right]+\left[ \frac{4}{2}\right] +\dots+\left[ \frac{2m}{2} \right] \right)+\left(\left[ \frac{1}{2} \right]+\left[ \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2} \right] \right)= \\=\sum_{k=1}^{m}k+ \sum_{k=1}^{m}(k-1)](/latexrender/pictures/8/2/8213c13af185678dd0ad2665363b5fe6.png)
,
bo oczywiście dla

mamy
![\left[ \frac{2l}{2} \right]=l \left[ \frac{2l}{2} \right]=l](/latexrender/pictures/6/e/6e11297a85d196a9e4edeb22c07a3d6b.png)
Rzecz jasna, na swój użytek tego tak nie rozpisywałem, jedynie chciałem to w miarę klarownie wytłumaczyć.
-- 14 mar 2017, o 18:07 --
Aha, nie zauważyłem drugiego pytania. Możesz zacytować fragment, do którego się odnosisz? Nie widzę, gdzie tu by miała być jakaś

Być może niepotrzebnie użyłem dwa razy do indeksowania

i przez to miałeś wrażenie, że to jest dokładnie to

, co wcześniej. To nie jest konflikt oznaczeń, ale mogło to zbijać z tropu.