szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2017, o 23:21 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Daleko
Udowodnić, że dla k i n naturalnych n!\cdot(k!)^n jest dzielnikiem liczby (nk)!.

Z góry dziękuję :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2017, o 00:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10237
Lokalizacja: Wrocław
\frac{(nk)!}{(k!)^n}= \prod_{l=1}^{n}{lk \choose k},
więc jest to liczba naturalna. Teraz lemacik:
dla dowolnego l \in \NN, k\in \NN zachodzi l|{lk \choose k}.
Dowód lemaciku: pozostawiam jako ćwiczenie dla Ciebie, bo muszę odrobić pracę domową.
Wystarczy rozpisać symbol Newtona na silnie i pomyśleć.

Stąd wynika, że 2|{2k \choose k}, 3|{3k \choose k}, \dots n|{nk \choose k}, czyli
n! \text{ dzieli }\prod_{l=1}^{n}{lk \choose k}=\frac{(nk)!}{(k!)^n}
a stąd łatwo dostajemy tezę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2017, o 22:32 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Daleko
Dziękuję!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Własność liczb, działania.  Xerias  1
 Suma silni n kolejnych liczb naturalnych  martin1990  4
 przekształcaj by udowodnić  ertentos  4
 Udowodnić prostą nierówność.  GluEEE  2
 udowodnić nierówność logarytmiczną  kluczyk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl