szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2017, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 132
Znajdź zwartą postać sumy:
\sum_{k}^{} {n \choose k}  \frac{1}{k+1}

\sum_{k}^{} {n \choose k}  \frac{ \left( -1 \right) ^{k}}{k+1}

\sum_{k}^{}  {{n \choose k}}^{2} rozbiłem to tak \sum_{k}^{}  {{n \choose k}}{{n \choose k}}=2^{n} {n \choose k}

O ile z takimi w stylu \sum_{k}^{} k {n \choose k} nie mam problemu, bo liczę to pochodną, to z takimi powyżej nie wiem co zrobić. A co do trzeciego to pewnie taka postać nie wystarczy, jakieś pomysły inne?

+ coś jeszcze powiązanego z tym, dowód, że \left(  \frac{n}{k} \right)^{k} \le  {n \choose k}   \ge  \left(  \frac{ne}{k} \right)^{k}
Pierwszą nierówność po prostu zrobiłem rozpisaniem, że \frac{n \left( n-1 \right)  \left( n-2 \right) .. \left( n- \left( k-1 \right)  \right) }{k \left( k-1 \right)  \left( k-2 \right)  \left( k-3 \right) ..2 \cdot 1}  \le  \frac{n \cdot n \cdot n..}{k \cdot k \cdot k \cdot ..} i biorąc oczywistą nierówność \left( \forall a,b \in \NN\right)  \left(  \left( a,b>2  \wedge a>b \right)  \rightarrow  \left(  \frac{a}{b}> \frac{a-1}{b-1} \right)  \right) mogę ułamek po ułamku porównywać, natomiast nie mam pomysłu co do drugiej nierówności
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2017, o 16:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12431
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
\sum_{k}^{} {n \choose k} \frac{1}{k+1}= \sum_{k}^{} {n \choose k} \int_{0}^{1}x^k \,\dd x= \int_{0}^{1}\left(  \sum_{k}^{}{n \choose k}x^k \right)   \,\dd x

zwiń tę sumę (wzór dwumianowy) i po prostu scałkuj.

-- 21 mar 2017, o 15:15 --

Co do tego drugiego: chyba źle napisałeś tę ostatnią nierówność, bo nie działa bp. dla n=2,k=1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2017, o 18:48 
Użytkownik

Posty: 132
Faktycznie, \left( \frac{n}{k} \right)^{k} \le {n \choose k} \le \left( \frac{ne}{k} \right)^{k} + co z tym trzecim zwinięciem sumy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2017, o 20:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12431
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Skorzystałem z liniowości całki. Dalej po prostu
\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^k 1^{n-k}=(x+1)^n
ze wzoru dwumianowego Newtona, więc Twoja suma jest równa
\int_{0}^{1}(1+x)^n \,\dd x
Podstawienie t=1+x (zmień granice całkowania) i łatwo wychodzi (albo oblicz w pamięci).

Nierówność: nie umiem tego ładnie udowodnić. Mój sposób:
{n \choose k} \le \left( \frac{ne}{k} \right)^{k}\\ \\ \frac{k^k}{n^k}{n \choose k} \le e^k\\  \frac{k^k}{n^k} \frac{n!}{k!(n-k)!}   \le e^k\\ \frac{k^k}{k!} \prod_{l=1}^{k} \left(  \frac{n-l+1}{n} \right) \le e^k\\\left( *\right)  \left( \frac k e\right)^k \prod_{l=1}^{k} \left( \frac{n-l+1}{n} \right) \le k!
Wszystkie przekształcenia były równoważne. Teraz odnotujmy, że
1) \prod_{l=1}^{k} \left( \frac{n-l+1}{n} \right) \le 1 - jest to oczywiste, bo żaden czynnik nie przekracza 1 (i wszystkie są dodatnie, bo naturalnie n\ge k).
2) \left( \frac k e\right)^k \le k! - jest to znany fakt, który można udowodnić indukcyjnie (może miałeś na zajeciach, jak nie, to spróbuj samodzielnie).
Mnożąc stronami 1) i 2), otrzymujemy nierówność (*), która jest równoważna tezie,
c.k.d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2017, o 23:25 
Użytkownik

Posty: 132
Tą całkę dokończyłem, chodziło mi raczej o \sum_{k}^{} {{n \choose k}}^{2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trzy ciągi okresowe i poszukiwanie sumy  Morfeo  0
 Zmiana indeksowania sumy szeregu  Euler41  9
 Obliczenie sumy dwumianow od 2 po 2, do n po 2.  misial  2
 znajdź postać rekurencyjną ciągu (dyskretna)  gonti  1
 postać zwarta ciągu + f. tworzące  anders90  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl