szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2017, o 15:08 
Użytkownik

Posty: 141
Lokalizacja: Warszawa
Wykaż, że wśród dowolnych 7 liczb naturalnych zawsze istnieją takie cztery, których suma jest podzielna przez 4.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2017, o 16:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 307
Lokalizacja: Podkarpacie
Zadanie sprowadza się do tego, aby pomyśleć o resztach z dzielenia liczb naturalnych przez 4

Łatwo zauważyć, że są cztery możliwości:

r _{0} =0 \\
r _{1} =1 \\
r _{2} =2 \\
r _{3} =3 \\
zauważ że wśród 5 jakichkolwiek liczb naturalnych można zawsze znaleźć 2 takie, że ich reszta z dzielenia przez 4 jest taka sama.
No czyli reszta z dzielenia przez 4 sumy tych dwóch pewnych liczb z 5 naturalnych może wynosić
2 \cdot r _{0} =0 \\
2 \cdot r _{1} =2 \\
2 \cdot r _{2} =4=0 \\
2 \cdot r _{3} =6=4+2=2 \\

No to ostatecznie,
A. Jeśli są co najmniej 4 liczby co dają taką samą resztę, to koniec.
B. Jeśli nie ma, to są co najmniej 2 pary takich, co dają taką samą resztę.
1 przypadek, to gdy suma tych dwóch par daje liczbę podzielną przez 4, wtedy koniec.
2 przypadek, to gdy suma tych dwóch par nie daje liczby podzielnej przez 4, wtedy daje zawsze resztę 2(z tego wyżej)
Ale to nic, bo są jeszcze 3 inne liczby.
a) Jeśli choć 2 z tych 3 dają tą samą resztę, to spełniają przypadek 1.
b) Jeśli nie ma takich, to znaczy że są przynajmniej 3 takie same(w sensie reszty dają te same), co zaś prowadzi do tego suma tych 3 da resztę 0,1,2,3 a wśród pozostałych 4 liczb każda daje inną reszte, 1lub 2lub 3 lub 0, więc po dodaniu któraś na pewno spełni zadanie, bo będą 4 z resztą inną niż daje ta suma tych 3 liczb, więc jedna na pewno "dopełni" tą sumę. Jeśli nie znajdzie się taka, to wystąpi przypadek 1.


Nie jest to najszybsza droga, pewnie przyjdzie ktoś mądrzejszy i zrobi to szybciej, ale poprawna.

Edit: poprawa wiadomości.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Reszta z dzielenia sumy kwadratów liczb  Misia6363  18
 Udowodnij podzielność iloczynu 3 kolejnych liczb przez 3  marek252  9
 Podzielność na podstawie jednej z cyfr w liczbie.  Rantaurel  3
 Podzielność przez 15  kocek20  2
 Podzielność przez 21 - zadanie 2  adamm  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl