szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2017, o 08:35 
Użytkownik

Posty: 73
Jak udowodnić, że każda liczba postaci \sqrt{2} k+ \sqrt{3} l, gdzie k,l to pewne liczby całkowite różne od zera, jest niewymierna?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2017, o 09:42 
Użytkownik

Posty: 450
Zauważ, że ( \sqrt{2}k  + \sqrt{3}l) ^{2}=2k ^{2} + \sqrt{6} kl+3l ^{2} jest niewymierna.
Wiemy , że liczba wymierna podniesiona do kwadratu też jest liczbą wymierną.Zatem jeżeli kwadrat powyższej liczby jest niewymierny to ona też jest niewymierna.

Jak coś jest niejasne to pytaj :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2017, o 09:42 
Użytkownik

Posty: 12853
Lokalizacja: Bydgoszcz
Gdyby była, to ich różnica też. A wtedy suma sumy i różnicy też by była, czyli pierwiastek z dwóch by był. A to niemożliwe.

PS. Był =był wymierny
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2017, o 09:56 
Użytkownik

Posty: 73
Dziękuję i jednocześnie przepraszam. Przepisywałem dzisiaj rano w pośpiechu treść z pamięci i się pomyliłem. Tak naprawdę miałem na myśli liczbę \sqrt[3]{2} k +  \sqrt[3]{4} l. Mógłbym prosić o wskazówki?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 25 mar 2017, o 12:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10243
Lokalizacja: Wrocław
Załóżmy nie wprost, że liczba \sqrt[3]{2} k + \sqrt[3]{4} l jest wymierną. Mamy 2k^3+4l^3 \in \QQ, zaś
2k^3+4l^3=(\sqrt[3]{2}k+\sqrt[3]{4}l)(\sqrt[3]{4}k^2-2kl+2\sqrt[3]{2}l^2)
\sqrt[3]{2} k + \sqrt[3]{4} l \in \QQ oraz \sqrt[3]{2} k + \sqrt[3]{4} l \neq 0, zatem stąd
\sqrt[3]{4}k^2-2kl+2\sqrt[3]{2}l^2 \in \QQ, czyli \sqrt[3]{4}k^2+2\sqrt[3]{2}l^2 \in \QQ
Zaobserwujmy, że wówczas \sqrt[3]{4}k^2+2\sqrt[3]{2}l^2-4kl=(\sqrt[3]{2}k-\sqrt[3]{4}l)^2 jest wymierną.
Wobec tego oczywiście \left(\sqrt[3]{2}k-\sqrt[3]{4}l \right)^2\left( \sqrt[3]{2}k+\sqrt[3]{4}l\right)^2 jest wymierna jako iloczyn liczb wymiernych.
Ale
\left(\sqrt[3]{2}k-\sqrt[3]{4}l \right)^2\left( \sqrt[3]{2}k+\sqrt[3]{4}l\right)^2
=2\sqrt[3]{2}k^4 +4\sqrt[3]{4}l^4-8k^2l^2, więc także
2\sqrt[3]{2}k^4 +4\sqrt[3]{4}l^4 jest liczbą wymierną.
Teraz tak: z bezpośredniego rachunku wynika, że dla
a=\sqrt[3]{2} k , b=\sqrt[3]{4} l liczba a^6-b^6 jest wymierna,
a z drugiej strony ze wzoru na różnicę sześcianów
a^6-b^6=(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)
Z powyższych spostrzeżeń wynika, że a^4+a^2b^2+b^4 jest wymierną i nie jest równa zero (plus założenia), stąd można wywnioskować, że a^2-b^2 jest wymierna, ale z założenia nie wprost a+b jest wymierna, stąd a-b też jest wymierna, więc
np. (a+b)+(a-b)=2a=2\sqrt[3]{2}k jest liczbą wymierną, co łatwo doprowadzić do sprzeczności - i to jest ćwiczenie dla Ciebie. Jeszcze może przyda się uzasadnienie, że nie jest
\sqrt[3]{2} k + \sqrt[3]{4} l=0, ale to po prostu przenosisz jedno na drugą stronę, podnosisz stronami do sześcianu i można zastosować metodę nieskończonego schodzenia modulo 2.
Pewnie można łatwiej. :|
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 konkursowe; znaleźć wzór sumy  fafner  1
 Jak Dokładnie Usunąć Niewymierność z Tego Pierwiastka?  damianjnc  3
 Niewymierność w mianowniuku  anulka122  4
 Kwadrat sumy pierwiastków - zadanie 3  zagrozony  3
 Jak usunąć niewymiernosć z mianownika.  nelik1987  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl