szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2017, o 10:50 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Łódź
Mam takie pytanie:

Jak mam taką funkcję: \frac{1}{ \sqrt[3]{x} }, to jej dziedziną, są wszystkie liczby, poza 0, czy wszystkie liczby dodatnie?

Chodzi o to, czy pierwiastki n-tego stopnia, zawsze mają nieujemny argument?

Dzięki.
Michał.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2017, o 11:10 
Użytkownik

Posty: 516
W tym wypadku dziedziną funkcji f(x)=\frac{1}{ \sqrt[3]{x} } jest D=R \setminus \left\{ 0\right\}

Pierwiastki nieparzystego stopnia można wyciągnąć również z liczb ujemnych.Jeżeli mamy pierwiastki stopnia parzystego to wtedy pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna.

Np.
\sqrt[3]{-8}=-2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2017, o 23:12 
Użytkownik

Posty: 14046
Lokalizacja: Bydgoszcz
Uwaga:
czym innym jest
\sqrt[3]{x}, a czym innym jest x^{1/3}.
To pierwsze to zapis funkcji okreslonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem
\sqrt[3]{x}=\mathrm{sgn}(x)|x|^{1/3},
to drugie to funkcja określona na [0,\infty)

W czym różnica? popatrz na tożsamość x^{1/3}=x^{2/6}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2017, o 23:41 
Użytkownik

Posty: 456
Lokalizacja: Polska
Z całym szacunkiem dla Pana a4karo, aczkolwiek teraz nawet na Uniwersytecie spotkałem się z nauką iż jest to właśnie to samo, ponieważ potęgowanie wykonuje się na ułamku nieskracalnym, ponieważ

x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}, nie zaś x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x}^m, więc jak najbardziej D = \mathbb R
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 00:09 
Użytkownik

Posty: 14046
Lokalizacja: Bydgoszcz
A czym jest w takim razie \sqrt[6]{x^2}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 00:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 160
Lokalizacja: Podkarpacie
\sqrt[6]{x^2} \\
x ^{2}  \ge 0 \\
x \ge 0 \vee x \le 0 \\
x  \in R \Rightarrow \sqrt[6]{x^2}=  \sqrt[3]{x}

Dlaczego nie można to w ten sposób rozważyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 02:19 
Użytkownik

Posty: 456
Lokalizacja: Polska
a4karo napisał(a):
A czym jest w takim razie \sqrt[6]{x^2}?

Dlatego należy korzystać z postaci pierwotnej. Pierwiastki parzystych stopni są z definicji nieujemne, więc powiększenie wykładników wygeneruje dodatkowe, fałszywe rozwiązania (ponieważ wyjściowe było x^{\frac{1}{3}}. nie zaś x^{\frac{2}{6}}. Z resztą, gdyby nie zachodziła 'tożsamość', \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}, to wówczas do wyrzucenia poszłaby dla podobnych przykładów PR czy podstawianie w trakcie całkowania, a to przecież jedne z bardziej powszechnych metod...

Z drugiej strony, ciężko mi to jednak oprzeć o cokolwiek, gdyż nie dysponuję książkami do analizy, zaś w internecie widuję zarówno jedne, jak i drugie interpretacje graficzne(tj. dla x \in \mathbb R oraz x \in \mathbb R_+  \cup \{0\}), więc będę musiał zaufać prędzej Panu, niż wiedzy wyciągniętej z liceum i wykładów.)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 06:21 
Użytkownik

Posty: 14046
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rafsaf napisał(a):
\sqrt[6]{x^2} \\
x ^{2}  \ge 0 \\
x \ge 0 \vee x \le 0 \\
x  \in R \Rightarrow \sqrt[6]{x^2}=  \sqrt[3]{x}

Dlaczego nie można to w ten sposób rozważyć?


No ta równość jest prawdziwa tylko dla dodatnich argumentów
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 21:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 654
Lokalizacja: Wrocław
W \sqrt[6]{x^2} mamy parzysty stopień pierwiastka, więc jego argument musi być nieujemny

ale x^2 właśnie jest nieujemny dla x\in \mathbb{R}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 22:46 
Użytkownik

Posty: 456
Lokalizacja: Polska
Kwestia tego, że \forall x \in \mathbb R: \sqrt[6]{x^2} \ge 0, bo pierwiastek parzystego stopnia z definicji jest nieujemny;

\sqrt[6]{(-3)^2} = \sqrt[3]{3} \neq \sqrt[3]{-3}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 23:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 654
Lokalizacja: Wrocław
Przekonałeś mnie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dziedzina funkcji, a przekształcenia.  GluEEE  1
 Dziedzina oraz zbiór wartości funkcji.  pawel_s  6
 dziedzina funkcji cyklometrycznych  ryzyk-fizyk  1
 Dziedzina funkcji, w jakich sytuacjach wyznaczamy  nivels  2
 Dziedzina funkcji okresowej  maciekbe  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl