szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 mar 2017, o 10:38 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Zamość
"Udowodnij że suma ośmiu kolejnych liczb naturalnych niepodzielnych przez 3 jest podzielna przez 12."

Doszedłem do tego, że:
\frac{(3n+1)+(3n+2)+(3n+4)+...+(3n+11)}{12} = \frac{24n+48}{12}=2n+4.
Wychodzi mi, że ta suma jest również podzielna przez 24: \frac{24n+48}{24}=n+2. Jednakże gdy dodam liczby 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11 oraz 13 okazuje się, że ich suma wynosi 60, a 60 nie jest podzielne przez 24. Bardzo proszę o pomoc, gdzie popełniłem błąd. Bardzo dziękuję za (p)odpowiedź. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 10:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 130
Lokalizacja: Płock
A od kiedy liczba 3 nie jest podzielna przez 3?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 mar 2017, o 11:02 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Zamość
Miałem na myśli 4, dzięki za spostrzeżenie, już poprawione. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 11:15 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
W Twoim dowodzie najmniejsza z tych liczb daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, a sprawdzasz taki zestaw, gdzie ta najmniejsza liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
To jest też wskazówką do tego, że Twój dowód jest niekoniecznie pełny.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 mar 2017, o 11:32 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Zamość
Hmm... czyli:
\frac{(3n+2)+(3n+4)+(3n+5)+...+(3n+13)}{12}= \frac{24n+60}{12}=2n+5
Jeżeli podałbym oba te równania oraz dowód słowny (np.: bez znaczenia, czy zacznie się od pierwszej liczby tej sumy, która daje nam z dzielenia przez 3 resztę 1, czy też resztę 2, w obu przypadkach suma ta podzielona na 12 daje nam liczbę naturalną) to czy można to uznać jako pełne rozwiązanie tego zadania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 11:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 130
Lokalizacja: Płock
Myślę, że to by wystarczyło. Napisałbyś, że rozważymy dwa przypadki i w każdym pokazałbyś, że teza jest prawdziwa - moim zdaniem jak najbardziej ok. Oczywiście, jeżeli tego typu zadanie ma być przez kogoś sprawdzane (w szkole/na konkursie), to warto pamiętać o tym, by napisać założenia takie jak n \in \mathbb{N}, gdyż na to z pewnością zwraca się uwagę.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 mar 2017, o 11:41 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Zamość
Bardzo dziękuję za odpowiedź. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 12:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 159
Lokalizacja: Podkarpacie
Zauważ, że gdybyś poszedł inną drogą, to nie miałbyś takiego problemu.

No bo w dzieleniu przez 3 liczby naturalnej masz zawsze resztę 1 lub 2

Czyli jak zacząłeś od 3n+1 to r=1, następna 3n+2 to r=2, następna 3n+4 da również resztę r=1 itd.

Niezależnie czy zaczynasz od liczby dającej resztę 1 czy 2, to dodajesz 4 liczby z r=1 oraz 4 liczby z r=2, co daje łącznie r=12, co kończy dowód.

Oczywiście ta metoda, którą zaproponowałeś jest również w porządku.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 Udowodnij cechy podzielności przez 7 i 8  Anonymous  6
 (2 zadania) Suma cyfr liczby trzycyfrowej.  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl