szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 19:21 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Warszawa
Witam. Męczę się z tym zadaniem już ponad godzinę - nie mam pojęcia, jak "formalnie" może wyglądać rozwiązanie. Czy mógłbym prosić o jakąś podpowiedź?

Cytuj:
Udowodnij, że liczba postaci 111...1 (3n cyfr) jest podzielna przez 33...3 (n cyfr)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 mar 2017, o 19:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10616
Lokalizacja: Wrocław
\overbrace{11\dots1}^{3n}= \frac{10^{3n}-1}{9}\\ \overbrace{33\dots3}^n=3\cdot  \frac{10^n-1}{9}

Ponadto ze wzoru na różnicę sześcianów mamy
10^{3n}-1^3=(10^n-1)(10^{2n }+10^n+1)
więc
\frac{10^{3n}-1}{9} = \frac{10^n-1}{9} \cdot (10^{2n }+10^n+1)
i wystarczy, że uzasadnisz, iż ten drugi czynnik dzieli się przez 3, a to jest trywialne
(wskazówka 10=9+1).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 19:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5641
Inaczej:
Zastanów się wpierw nad podzielnością przez 11..1 (n cyfr)
Z jakich cyfr składa się wynik? Jaka jest ich suma? Czy jest podzielna przez 3?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Warszawa
@Premislav
Dzięki, jesteś naprawdę niezastąpiony. O to mi chodziło:)

@kerajs
Wielkie dzięki za odpowiedź :)
Kombinowałem właśnie w ten sposób, ale nie wiem, jak mógłbym to "ładnie" zapisać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2017, o 20:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5641
Raczej nie ładnie, ale chyba poprawnie:


\frac{\overbrace{11\ldots1}^{3n}}{\underbrace{33\ldots3}_{n}}=\frac{\overbrace{11\ldots1}^{n}\overbrace{11\ldots1}^{n}\overbrace{11\ldots1}^{n}}{3 \cdot \underbrace{11\ldots1}_{n}}=\frac{1\overbrace{00\ldots0}^{n-1}1\overbrace{00\ldots0}^{n-1}1}{3}
Ponieważ suma cyfr licznika 1+0+0+...+0+1+0+0+...+0+1=3 jest podzielna przez 3 to licznik przez 3 się dzieli i teza jest prawdziwa.
QED
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykazanie podzielnośći wyrażenia przez 8  klawiatur  15
 Podzielność sumy kwadratów  wolkow  1
 Wykaż podzielność liczby przez 6  Romek66  1
 Podzielność liczby - zadanie 10  Cinoq  5
 sprawdź czy podane liczby są podzielne przez 37  koksiu15  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl