szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 mar 2017, o 18:54 
Użytkownik

Posty: 44
dowieść , że 2^{ \frac{1}{2}n (n-1)} >n! dla n\in \NN _{3} innym sposobem niż indukcją.
Góra
PostNapisane: 28 mar 2017, o 19:04 
Użytkownik
Dla jakich n chcesz to pokazać?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 mar 2017, o 19:05 
Użytkownik

Posty: 44
dla naturalnych od trójki
Góra
PostNapisane: 28 mar 2017, o 19:07 
Użytkownik
Sprawdź dla n=9 czy się zgadza
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 mar 2017, o 19:10 
Użytkownik

Posty: 44
zgadza sie

-- 28 mar 2017, o 18:12 --

nie zobaczyłam, że jednego n nie dopisałam.
Góra
PostNapisane: 28 mar 2017, o 19:13 
Użytkownik
Olusia_95 napisał(a):
zgadza sie

-- 28 mar 2017, o 18:12 --

nie zobaczyłam, że jednego n nie dopisałam.


No to weź sobie kpin nie rób i nie pisz, że się zgadza jak treść pomyliłaś.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 mar 2017, o 19:20 
Użytkownik

Posty: 44
Przepraszam , nie zobaczyłam , że się pomyliłam dlatego napisałam , że się zgadza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2017, o 19:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9867
Lokalizacja: Wrocław
Lemat:
2^{n-1} \ge n dla n=1,2,3\dots
Dowód lematu: dla n=1 sprawdzamy bezpośrednio, że to prawda, podstawiając na pałę, dla n\ge 2mamy z nierówności Bernoulliego:
(1+1)^{n-1} \ge 1+1\cdot(n-1)=1+n-1=n, co kończy dowód lematu.
Czyli:
2^0 \ge 1\\2^1 \ge 2\\2^2 \ge 3\\\dots \\2^{n-1} \ge n
Mnożąc te nierówności stronami, dostajemy
2^{\frac{n(n-1)}{2}}\ge n!
co należało dowieść.

-- 28 mar 2017, o 18:43 --

A, sorry, tam jest ostra nierówność, a więc nierówność jest nieprawdziwa dla n=1, n=2, zaś gdy n \ge 3, to możemy zmienić nierówność
2^{n-1} \ge n na ostrą. Moim zdaniem ładniej się wykazuje nieostrą.
Można też cisnąć z nierówności między średnimi:

\sqrt[n]{n!} \le  \frac{n+1}{2} < \frac{n(n-1)}{2}<2^{ \frac{n(n-1)}{2}}
przy czym pierwsza nierówność to nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb 1,2,\dots n, trzecia nierówność znów wynika z Bernoulliego, a
\frac{n(n-1)}{2}> \frac{n+1}{2}
dla n\ge 3 jest oczywistą (jak chcesz, to sprowadź sobie do nierówności kwadratowej, ale to po prostu widać).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 nierówność z silnia  lokiec16  3
 nierównosc z silnią - zadanie 11  Olusia_95  2
 Nierówność z silnią  Zasados  2
 nierówność z silnią - zadanie 2  mat1989  13
 Nierówność z silnią - zadanie 3  pejek  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl