szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 mar 2017, o 15:12 
Użytkownik

Posty: 44
Udowodnić , ze dla każdej liczby naturalnej n zachodzi:\frac{1}{3} n^{2} +  \frac{1}{2}n+ \frac{1}{6} \ge (n!) ^{ \frac{2}{n} }
Jakiś inny sposób niż zobaczenie że lewa str nierówności jest równa \frac{1 ^{2}+2 ^{2}+..+n ^{2}   }{n} i dalej skorzystania z nierówności Cauchyego?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 29 mar 2017, o 15:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10285
Lokalizacja: Wrocław
A po co Ci inny sposób, skoro ten jest ładny i dość naturalny? Ktoś od Ciebie wymaga innego rozwiązania?

-- 29 mar 2017, o 14:33 --

Można pokazać indukcyjnie, że dla n \ge 8 jest
n! \le \left( \frac n 2\right)^n
a wówczas
\frac{1}{4}n^2 \ge  \left( n!\right)^{\frac 2 n}
A dla n=1,2,3,4,5,6,7 sprawdź sobie ręcznie albo napisz programik, który to zrobi. :lol:
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 mar 2017, o 15:55 
Użytkownik

Posty: 44
n!<\left(\frac{n}{2}\right)^{n},n \ge 6

Dla n=6:
6!<\left(\frac{6}{2}\right)^{6}
720<729

Zakładam prawdziwość dla pewnego k:
k!<\left(\frac{k}{2}\right)^{k}
Sprawdzam poprawność tezy dla k+1:
\left(k+1\right)!<\left(\frac{k+1}{2}\right)^{k+1}
k!\left(k+1\right)<\left(\frac{k+1}{2}\right)^{k+1}

Korzystając z tezy:
k!\left(k+1\right)<\left(\frac{k}{2}\right)^{k}\left(k+1\right)

i co dalej z tym zrobic?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 29 mar 2017, o 16:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10285
Lokalizacja: Wrocław
Racja, działa już dla n=6, więc tylko dla pięciu liczb trzeba sprawdzić ręcznie (ale moim zdaniem to i tak dużo i by mi się nie chciało). Nie wiedziałem, ile to jest 3^6.

Drugi krok indukcyjny:
z założenia indukcyjnego mamy
a)\left(  \frac{n}{2} \right)^n>n!
więc wystarczy pokazać, że
b)\frac{\left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+1}}{\left( \frac{n}{2} \right)^n} \ge n+1
i wymnożyć te nierówności stronami.

Mamy
\frac{\left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+1}}{\left( \frac{n}{2} \right)^n}= \frac{n+1}{2} \cdot \left( 1+\frac 1 n\right)^n \ge  \frac{n+1}{2} \cdot 2=n+1
gdyż na mocy nierówności Bernoulliego jest
\left( 1+\frac 1 n\right)^n \ge 2
Czyli nierówność b) jest udowodniona, mnożąc a) i b) stronami, dostajesz tezę indukcyjną.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówności dla liczb nieujemnych  krystian8207  5
 uklad nierówności - zadanie 2  wirus1910  2
 Przedział nierówności - zadanie 2  hhlady  3
 Równania i nierówności - zadanie 82  marzenqs  1
 układy równań,równania i nierówności  tysiolek20  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl