szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2017, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 17
Jak prawidłowo podejść do przekształcenia tego przykładu i wykazać, że jest to liczba całkowita?

\frac{6 +  6^{2}  +  6^{4}  + ... +  6^{100} }{1 + 2 + 4}


a) W taki sposób?

\frac{6 + (1 +  6^{2} )(  6^{2}  +  6^{6}  +  6^{10}  + ... +  6^{98} ) }{7} = \frac{6 + 37(  6^{2}  +  6^{6}  +  6^{10}  + ... +  6^{98} ) }{7}

b) Albo taki?

\frac{6 +  6  \cdot  6  +  6^{4}  + ... +  6^{100} }{1 + 2 + 4} = \frac{7  \cdot  6  +  6^{4}  + ... +  6^{100} }{7}

Ale co dalej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2017, o 13:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9855
Lokalizacja: Wrocław
Może się przydać obserwacja, że 6^{2n+1}\equiv -1\pmod{7} oraz 6^{2n}\equiv 1\pmod{7}.
Ale tak w zasadzie, to ja nie wiem, co reprezentuje zapis
6 + 6^{2} + 6^{4} + ... + 6^{100}?
Nie wiem, jaki będzie następny wyraz po 6^4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2017, o 14:17 
Użytkownik

Posty: 17
No zapawne, że potęga wzrasta co 2 od 6^{2} do 6^{100} co daje 50 wyrazów. W zadaniu jest tylko taka postać, nic więcej

\frac{6 +  6^{2} +  6^{4} + ... +  6^{98}  +  6^{100}   }{ 1 + 2 + 4}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2017, o 14:27 
Użytkownik

Posty: 104
Lokalizacja: Podkarpacie
No z kongruencji najłatwiej wystarczy popatrzeć na resztę z dzielenia przez 7 każdego składnika tego czegoś:

{6 + 6^{2} + 6^{4} + ... + 6^{100}

a potem pododawać(lub jakoś sprytniej ale ja nie jestem sprytny)

A wtedy skoro
6 \equiv -1 \pmod{7} to mamy
6 ^{2}  \equiv 1 \pmod{7}
6 ^{4}  \equiv 1 \pmod{7}
itd.

No i teraz "sprytnie" dodajemy, mamy że
6+6 ^{2}+6 ^{4}+6 ^{6}+ ...+6 ^{100} \equiv -1+1+1+1+...+1 \pmod{7}=49 \pmod{7} \\ \Rightarrow  6+6 ^{2}+6 ^{4}+6 ^{6}+ ...+6 ^{100} \equiv 0 \pmod{7}

No i chyba tyle.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykaż ze liczba jest całkowita  wojt12322  7
 wykaż że liczba jest całkowitą  happytree  2
 wykaż ze liczba jest całkowita - zadanie 2  walistopa  1
 wykaż że liczba jest całkowita - zadanie 3  tomsop  3
 Co to jest liczba kolista??  Anonymous  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl