szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2017, o 20:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 87
Wykaż, że funkcja f(x)= \frac{1}{ \sqrt{x}} jest wypukła w zbiorze (0;+ \infty )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2017, o 20:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10817
Lokalizacja: Wrocław
Ta funkcja ma drugą pochodną w tym zbiorze, więc po prostu liczysz drugą pochodną i sprawdzasz jej znak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2017, o 20:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 87
Myślałem, że ktoś podejmie próbę udowodnienia tego za pomocą nierówności z definicji. Ale za to bardzo sprytnie i szybciej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2017, o 22:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10817
Lokalizacja: Wrocław
Można to wykazać bez różniczkowania, ale sprytnie to nie umiem.
1) łatwo uzasadnić, że jeśli x,y>0 i a,b>0 oraz a+b=1, to
\sqrt{ax+by}\ge a\sqrt{x}+b\sqrt{y}
Można mianowicie np. napisać, że
\sqrt{ax+by}=\sqrt{a+b}\sqrt{ax+by} skoro a+b=1 i zastosować nierówność Cauchy'ego-Schwarza.
Zatem \sqrt{x} jest wklęsła w \RR^+
2) g(x)=\frac 1 x jest wypukła w \RR^+ (znane i intuicyjne).
3) z punktu drugiego mamy
\frac{a}{\sqrt{x}}+ \frac{b}{\sqrt{y}} \ge  \frac{1}{a\sqrt{x}+b\sqrt{y}}
4) Niech znów x,y,a,b jak wyżej: z punktu pierwszego mamy
a\sqrt{x}+b\sqrt{y} \le  \sqrt{ax+by} \Rightarrow  \frac{1}{a\sqrt{x}+b\sqrt{y}} \ge  \frac{1}{ \sqrt{ax+by} }
To kończy dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2017, o 19:10 
Użytkownik

Posty: 13584
Lokalizacja: Bydgoszcz
Funkcja f jest wypukła wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego h>0 funkcja f(x+h) - f(x) jest rosnąca.

\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}} =-\frac{h}{\sqrt{x(x+h)}(\sqrt{x} +\sqrt{x+h} ) } oczywiście rośnie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Dowód na tw. Fermata  Mbach  2
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl