szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2017, o 23:29 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Kraków
Witam serdecznie,
potrzebuje pomocy z następującym zadaniem.

Proszę pokazać, że:
1.
10|(37 ^{100}-37 ^{20})

2.
10|(37 ^{500}-1})

Próbowałem zrobić pierwszy przykład:
(37 ^{100}-37 ^{20})= (37^{20})^{5}-37 ^{20}

Jeśli przyjmiemy,że 37^{20}=n to

(37^{20})^{5}-37 ^{20}=n^{5}-n

Dalej próbowałem udowodnić indukcyjnie że (n+1)^{5}-(n+1) jest podzielne przez 10, doszedłem do czegoś takiego:

(n+1)^{5}-(n+1)= n^{5}+ 5n^{4} + 10n^{3} + 10n^{2}+4n

W tym miejscu się zatrzymałem, da się udowodnić to zadanie inaczej niż przez indukcję?
Wyczytałem w internecie, że może tu być pomocne twierdzenie Eulera, lecz nie wiem jak
użyć go w tym zadaniu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2017, o 23:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10550
Lokalizacja: Wrocław
n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1)=\\=(n-1)n(n+1)(n^2-4+5)=5(n-1)n(n+1)+(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
i uzasadnij, że oba składniki są podzielne przez 10.

-- 4 kwi 2017, o 23:42 --

Można też inaczej: bezpośrednio z małego twierdzenia Fermata (szczególny przypadek wspomnianego twierdzenia Eulera) mamy, że 5 dzieli n^5-n, a podzielność przez 2 jest oczywista, bo liczba n jest tej samej parzystości, co n^5, gdy n \in \NN. Zatem mamy podzielność przez 2\cdot 5=10, bo \NWD(2,5)=1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2017, o 04:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 434
Lokalizacja: Glasgow
Można również z kongruencji:

37^{2} \equiv -1 \pmod{10}  \Rightarrow 37^{100} - 37^{20} \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{10} ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2017, o 06:13 
Użytkownik

Posty: 13214
Lokalizacja: Bydgoszcz
A jeszcze prościej popatrzyć jak wygląda odsysania cyfra potęg siódemki. 7,9,3,1,...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2017, o 22:57 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Kraków
Dziękuje wam za pomoc.
Niestety dalej nie wiem jak rozwiązać ten drugi przykład.
10|(37 ^{500}-1})
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2017, o 22:58 
Moderator

Posty: 1895
Lokalizacja: Trzebiatów
Analogicznie spróbuj jak Chewbacca97 z kongruencji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2017, o 23:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10550
Lokalizacja: Wrocław
Da się również użyć tutaj twierdzenia Eulera, skoro już o nim wspomniałeś:
\phi(10)=\phi(2 \cdot 5)=\phi(2) \cdot \phi(5)=1\cdot 4=4,
ponadto \NWD(10,37)=1, więc z tw. Eulera 37^4 \equiv 1 \pmod{10}.
Zaś 37^{500}=(37^4)^{125}.

Natomiast najwygodniej (i bez grubych twierdzeń) jest chyba z wykorzystaniem kongruencji (jak już zasugerowano) pokazać, że
37^{4k}\equiv 1 \pmod{10}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielność wyrażenia przez 10  aether  5
 podzielność przez 240 - zadanie 2  Agatka  1
 podzielność sumy przez 9  Jo-anna  3
 podzielność liczby przez 3  patrycja1992  5
 wykaż podzielnośc przez 6  mariuszK3  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl