szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2017, o 14:26 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Warszawa
Znajdź funkcję tworzącą ciągu:
a) a _{n} =  \begin{cases} 2n, n=0,1...N \\ 0, n > N\end{cases} 
b)  a_{n} = (n+1) 2 ^{n}, n=0,1...
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2017, o 14:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12446
Lokalizacja: Państwo Polin
a)
G(x)= \sum_{n=0}^{N}2n x^n+ \sum_{n=N+1}^{ \infty }0 \cdot x^n=\\= \sum_{n=0}^{N}2n x^n=\sum_{n=1}^{N}2n x^n=2 \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{n}x^n=\\=2 \sum_{k=1}^{N} \sum_{n=k}^{N}x^n= 2\sum_{k=1}^{N}x^k \frac{x^{N-k+1}-1}{x-1}=\\= \frac{2Nx^{N+1}}{x-1}- \frac{2(x^{N+1}-x)}{(x-1)^2}
Skorzystałem ze zmiany kolejności sumowania i wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.
\sum_{n=k}^{N}x^n to suma N-k+1 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym x^k i ilorazie równym x.
Podobnie z \sum_{k=1}^{N}x^k
b)
G(x)=\sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }n2^nx^n+ \sum_{n=0}^{ \infty } 2^n x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }n2^nx^n+ \sum_{n=0}^{ \infty }(2x)^n=\\=x \sum_{n=1}^{ \infty }2n \cdot (2x)^{n-1}+ \frac{1}{1-2x}=x \left(\sum_{n=0}^{ \infty }(2x)^n\right)'+\frac{1}{1-2x}= \frac{2x}{(1-2x)^2}+\frac{1}{1-2x}

Skorzystałem z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego (wewnątrz przedziału zbieżności możemy różniczkować wyraz po wyrazie szereg potęgowy, tj. ma miejsce jakby uogólnienie wzoru na pochodną sumy dla nieskończenie wielu składników - w ogólności nie zawsze jest to poprawne) i ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego. Te równości zachodzą gdy |2x|<1, tj. |x|<0,5 (żeby zbieżny był ten szereg geometryczny), ale to nas nie bardzo interesuje, wystarczy, że w pewnym otoczeniu zera zachodzi taka równość.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje tworzące - zadanie 19  artmat  8
 funkcje tworzace - zadanie 10  Gogeta  4
 Funkcje Tworzące - zadanie 4  spinaczo  0
 Funkcje tworzace - zadanie 8  pawellech  1
 Funkcje tworzące - zadanie 13  lustro2204  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl