szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2017, o 23:48 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Poznań
Hej,
Jak wyznaczyć wzór jawny z podanego wzoru rekurencyjnego:

F_n= \begin{cases} 1  \rightarrow  n=1 \\ 1  \rightarrow  n=2 \\ 1  \rightarrow  n=3 \\ 2  \rightarrow  n=4 \\ f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)  \rightarrow n \ge 5 \end{cases}

PS. Nie wiem jak w tex zrobić "dla n=.." więc dałem te strzałki
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2017, o 00:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12453
Lokalizacja: Państwo Polin
Można np. skorzystać z funkcji tworzących.
Niech G(x)= \sum_{n=1}^{ \infty }F_n x^n - funkcja tworząca naszego ciągu (F_n).
Wtedy:
G(x)=x+x^2+x^3+2x^4+ \sum_{n=5}^{ \infty }F_n x^n=\\=x+x^2+x^3+2x^4+ \sum_{n=5}^{ \infty }(F_{n-2}+F_{n-3}+F_{n-4})x^n=\\=x+x^2+x^3+2x^4+x^2 \sum_{n=5}^{ \infty }F_{n-2}x^{n-2}+x^3 \sum_{n=5}^{ \infty }F_{n-3}x^{n-3}+x^4 \sum_{n=5}^{ \infty }F_{n-4}x^{n-4}
Teraz przesuwamy indeksy w tych sumach i mamy:
G(x)=x+x^2+x^3+2x^4+x^2(G(x)-x-x^2)+x^3(G(x)-x)+x^4 G(x)
czyli po wyliczeniu z tego gie:
G(x)= \frac{x+x^2}{1-x^2-x^3-x^4}
Teraz należy rozwinąć takie G(x) w szereg potęgowy i wówczas wyrażenie przy x^n to będzie nasze F_n.
Niestety trzeba to rozłożyć na ułamki proste, czego nie chce mi się robić.
A jesteś pewien, że dobrze to przepisałeś (treść zadania)? Ułamki nie będą ładne, a gdyby do tego podejść od strony równania charakterystycznego, to koniec końców musielibyśmy się siłować z tym samym obleśnym wielomianem...

-- 6 kwi 2017, o 23:11 --

Lolłem hardo: https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %5E3-x%5E4

-- 6 kwi 2017, o 23:35 --

Kurka wodna... Miałem też taki pomysł, by do tej zależności dodać obustronnie F_{n-1} i rozważać G_n=F_n+F_{n-1}, ale wtedy i tak w końcu dochodzimy do starcia z wielomianem typu x^3-x^2-1, a z tym nic nie umiem zrobić (można użyć wzorów Cardana, ale ja ich nie znam i uważam, że to trochę przegięcie stosować takie rzeczy).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2017, o 00:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Wzór na \frac{ \mbox{d}^n}{ \mbox{d}x^{n} } \frac{L\left( x\right) }{M\left( x\right) }
łatwo podać gdy mamy rozkład na sumę zespolonych ułamków prostych
więc trzeba będzie rozwiązać równanie trzeciego stopnia

Premislav, jak nie widziałeś że można mianownik pogrupować to ułamek można skrócić
wykorzystując NWD wielomianów
Do policzenia NWD wielomianów nie musimy znać rozkładu tych wielomianów na czynniki
wystarczy brać reszty z kolejnych dzieleń
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2017, o 00:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12453
Lokalizacja: Państwo Polin
mariuszm, ja wiem, że można pogrupować: 1-x^2-x^3-x^4=(1-x)(1+x)-x^3(1+x) i tak dalej, ale i tak zostaje do rozwiązania równanie trzeciego stopnia, a takich rzeczy nie umiem liczyć (no, poza szczególnymi przypadkami typu "istnieje pierwiastek wymierny"). Wiem, że istnieją wzory Cardana, ale ja nie potrafiłem kilka lat temu zrozumieć dowodu, a to zbyt kopiaste, żeby się uczyć na pamięć (przynajmniej jak na mój gust).
Ale uwaga o NWD wielomianów i tak jest przydatna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2017, o 01:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Metoda funkcji symetrycznych


Niech

\begin{cases} \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+1=0 \\ \varepsilon_{1}\varepsilon_{2}=1 \end{cases}\\

Mamy układ równań

\begin{cases} x_{1}+\varepsilon_{1}x_{2}+\varepsilon_{2}x_{3}=u_{1} \\ x_{1}+\varepsilon_{2}x_{2}+\varepsilon_{1}x_{3}=u_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a_{2} \end{cases} \\
\left( z-u_{1}\right)\left( z-\varepsilon_{1}u_{1}\right)\left( z-\varepsilon_{2}u_{1}\right)\left( z-u_{2}\right)\left( z-\varepsilon_{1}u_{2}\right)\left( z-\varepsilon_{2}u_{2}\right)=0

Współczynniki tego równania szóstego stopnia są funkcjami symetrycznymi
pierwiastków równania i mogą być wyrażone przez współczynniki równania trzeciego stopnia
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wariacje z powtorzeniami : wzor  hipero  3
 Ile monitorów można wybrać ?? jaki wzor?  Anonymous  1
 zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny  eoor  1
 [Dyskretna/Kombinacje] Wzór - twierdzenie do udowodnienia  Szczawik  0
 wzór newtona  net  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl