szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 kwi 2017, o 13:35 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Pińczów
W trójkącie ABC punkt K jest punktem wewnątrz trójkąta takim, że AK przecina BC w punkcie D, BK przecina AC w punkcie E, CK przecina AB w punkcie F. Ponadto
|AC|=3|AE|, |AB|=4|AF| i |CB|=m|CD|.
Jaka jest wielkość m?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2017, o 17:21 
Użytkownik

Posty: 128
Lokalizacja: Warszawa
Skorzystajmy z faktu, że stosunek pól trójkątów o wspólnej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw (przeczytasz o tym tutaj: http://omj.edu.pl/uploads/attachments/kwadrat-10-kolor.pdf). Wobec tego, przyjmując, że pole \triangle AFK=T, mamy pole \triangle BFK=3T (oczywiście z założenia |AB|=4|AF|, wynika |BF|=3|AF|). Analogicznie pole \triangle AEK=S, pole \triangle CEK=2S. Oznaczmy teraz prze X i Y pola odpowiednio trójkątów CDK i BDK. Ponieważ trójkąty CFA i CFB mają wspólną wysokość, to \frac{AF}{FB}=\frac{2S+S+T}{X+Y+3T}, skąd X+Y+3T=3T+6S, zatem X+Y=6S. (*) Analogicznie dla trójkątów BEA i BEC mamy:\frac{AE}{EC}=\frac{3T+T+S}{X+Y+2S}, zatem X+Y+2S=2S+8T, czyli X+Y=8T. Łącząc to rówanie z równaniem (*) otzymujemy 3S=4T (**). Teraz: \frac{BD}{DC}=\frac{X}{Y}=\frac{[ADC]}{[ADB]}, gdzie [F] oznacza pole figury F. Nie trudno wykazać, że jeśli \frac{a}{b}=\frac{c}{d}, to \frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}, zatem \frac{BD}{DC}=\frac{[AKC]}{[AKB]}=\frac{3S}{4T}, ale na mocy (**) \frac{3S}{4T}=\frac{3S}{3S}=1, czyli \frac{BD}{DC}=1, zatem \frac{BC}{CD}=2, czyli |CB|=2|CD|, skąd m=2.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 kwi 2017, o 11:36 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Pińczów
Dziękuję bardzo :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 kwi 2017, o 19:42 
Użytkownik

Posty: 128
Lokalizacja: Warszawa
O kurczę, ale jestem głupi..., przecież odpowiedź na zadane pytanie wynika bezpośrednio z Twierdzenia Cevy:
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/geometria/planimetriak/2011/02/01/Twierdzenie_Cevy/

Edit: Zastanawia mnie tylko rozbieżność odpowiedzi xD
Edit 2: Ok. Bardzo przepraszam za pomyłkę, ale z równania \frac{AF}{FB}=\frac{2S+S+T}{X+Y+3T} wynika równanie X+Y+3T=3T+9S. Dalej, postępując jak we wcześniejszym poście, otrzymujemy9S=8T i uznając tę zależność za (**), dochodzimy do \frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}, czyli \frac{BC}{CD}=\frac{5}{2}, więc ostatecznie m=\frac{5}{2}=2,5.
Taki sam wynik wychodzi z Twierdzenia Cevy. Jeszcze raz przepraszam za pomyłkę. :cry:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Punkt wewnątrz trójkąta - zadanie 9  aneta909811  0
 Punkt wewnątrz trójkąta - zadanie 4  krystian8207  5
 Punkt wewnątrz trójkąta  Salceson  0
 Punkt wewnątrz trójkąta - zadanie 7  Arytmetyk  4
 Punkt wewnątrz trójkąta - zadanie 6  kinia7  32
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl