szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2007, o 21:15 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: lbn
1) wykaż że jeżeli m jest całkowita to m^6 - 2m^4 +m^2 jest podzielna przez 36
2) wykaż że kwadrat liczby całkowitej dającej z dzielenia przez 3 resztę 2, przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1
3) iloczyn dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 6174 a ich największy wspólny dzielnik równa się 21. Znajdź te liczby"

pomozecie?:)

[Zapoznaj się z regulaminem, w szczególności z nazewnistwem tematów. A potem radzę poznać LaTeX-a - Tristan]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2007, o 21:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Ad 1:
Zauważ, że m^6 - 2m^4 +m^2=m^2 ( m^4 - 2m^2 +1)=m^2 ( m^2 -1)^2=m^2 (m-1)^2 ( m+1)^2= [ m(m-1)(m+1)]^2. Mamy do czynienia z iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Z kolejnych trzech liczb całkowitych jedna jest podzielna przez 3, więc cały iloczyn jest podzielny przez 3. Poza tym co najmniej jedna jest podzielna przez 2, więc cały iloczyn jest podzielny przez 2. Czyli zachodzi podzielność 6| m(m-1)(m+1), a z tego wynika, że 36=6^2 | [ m(m-1)(m+1)]^2= m^6 - 2m^4 +m^2.

Ad 2:
Liczbę całkowitą, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, możemy zapisać w postaci 3k+2. Wtedy jej kwadrat to (3k+2)^2=3k \cdot 3k + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 4=3(3k^2 +4k+1) +1. Czyli jej kwarat przy dzieleniu przez 3 daje resztę jeden ( bo jest całkowitą wielokrotnością trójki plus jeden).

Ad 3:
Niech szukanymi liczbami będą x,y. Z treści zadania wiemy, że x \cdot y=6174 i NWD(x,y)=21. Z tej drugiej informacji wynika, że x=21k, y=21n, gdzie NWD(k,n)=1. Podstawiając to do pierwszego równania mamy:
21k \cdot 21n=6174 \\ k \cdot n=14
Czyli (k=1 \wedge n=14) \vee (k=2 \wedge n=7) \vee ( k=7 \wedge n=2) \vee (k=14,\wedge n=1). Stąd otrzymasz już cztery pary (x,y) rozwiązań.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl