szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 kwi 2017, o 22:03 
Użytkownik

Posty: 313
Lokalizacja: Warszawa
Siemka, zacznę od tego, że wiem o czym jest twierdzenie Lagrnange'a, ale nie wiem jak ono ma mi pomóc rozwiązać poniższy przykład.

Z twierdzenia Lagrange'a uzasadnić nierówność:
n\cdot (b-a)\cdot  a^{n-1}  <  b^{n} -  a^{n} < n\cdot (b-a)\cdot  b^{n-1}, n  \in N  \setminus \left\{ 1\right\}

Czysto machinalnie, dla jakiegoś c należącego do zbioru liczb naturalnych bez 1 policzyłem pochodną oraz drugą część wzoru:

\frac{ \mbox{d}f }{ \mbox{d}c } =  b^{c}  \lnb - a^{c} \cdot \lna =  \frac{f(n) - f(0)}{n - 0} =  \frac{ b^{n} -  a^{n} }{n}

Nie mam pomysłu :)
Z góry dzięki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2017, o 00:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10808
Lokalizacja: Wrocław
Rozważmy f(x)=x^n, jest ona ciągła i różniczkowalna w \RR, więc w szczególności na odcinku [a,b], gdzie a<b.
Ponadto f'(x)=nx^{n-1}.
Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej mamy:
f(b)-f(a)=(b-a)f'(c) dla pewnego c \in (a,b)
Mamy ponadto f'(c)=nc^{n-1}. Teraz wywnioskuj, że
na^{n-1}<f'(c)<nb^{n-1} (np. licząc jeszcze drugą pochodną, czyli pochodną funkcji f'(x)).
Aha, chyba powinno być 0 \le a<b (w każdym razie pod tym założeniem działa), bo znalazłem gustowny kontrprzykład do oryginalnego sformułowania zadania:
n=3, a=-2, b=-1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2017, o 07:41 
Użytkownik

Posty: 313
Lokalizacja: Warszawa
Dzięki wielkie
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ograniczoność funkcji. Nierówność na kresach.  reksiak  0
 nierówność Jensena  Mapedd  1
 Udowodnic nierównoSC - zadanie 2  marcin111  5
 rozwiąz nierówność  prezio1988  3
 rozwiązać nierówność - zadanie 2  ami88  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl