szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2017, o 13:50 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Wrocław
Rozważmy rozwinięcie wyrażenia (a+b+c+d)^{20} .Podaj:
a) wartość współczynnika przy wyrazach a^{11}b^{6}c^{2}d i a^{11}b^{9}
b) liczbę wyrazów tego rozwinięcia;
c) sumę wszystkich współczynników

Pierwsze pytanie wiem jak zrobić z uogólnionego wzoru Newtona.

Odpowiedź na drugie pytanie to { 20+3 \choose 3} i nie wiem skąd się to wzięło. Wzór podobny do wzoru na liczbę kombinacji z powtórzeniami k elementów sposród n rodzajów {k+n-1 \choose k}, ale nie wiem jak on ma się do tej sytuacji.

Trzeci podpunkt też wiem jak zrobić, tak więc problem mam tylko z drugim i proszę o pomoc
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2017, o 14:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12429
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
b) Będzie bardziej sensownie, jeżeli od razu policzymy liczbę wyrazów rozwinięcia
(x_1+\dots+x_k)^n
Te wyrazy będą postaci x_1^{n_1}\dots x_k^{n_k}, gdzie n_1, \dots n_k \in \NN (łącznie z zerem) i n_1+n_2+\dots+n_k=n.
To, co naprawdę musimy więc policzyć, to liczba rozwiązań równania
n_1+n_2+\dots+n_k=n,
gdzie n_i \in \NN_0, n \in \NN^+.
A to jest stosunkowo znany problem, wynik to {n+k-1 \choose k-1}. Dlaczego?
Narysujmy sobie w "sznureczku" n punktów i zauważmy, że aby podzielić liczbę n na k nieujemnych składników, musimy między te punkty (no, nie do końca między; zapisujemy ogólnie \overbrace{1+\dots+1}^n=n i wstawiamy nawiasy) wstawić k-1 przegródek. To teraz zróbmy taką sztuczkę, że dorysowujemy kolejnych k-1 punktów (łącznie mamy ich n+k-1). Teraz w celu rozstawienia przegródek wybieramy k-1 spośród tych n+k-1 punktów i np. malujemy je na inny kolor, odtąd są one przegródkami, a nie liczymy ich w charakterze punktów. Można to zrobić na {n+k-1 \choose k-1}sposobów. U Ciebie jest n=20, k=4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2017, o 16:33 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: pzn
a)
{20 \choose 11}  \cdot  {9 \choose 6}  \cdot  {3 \choose 2}  \cdot 1
Zauważ, że mamy w sumie 20 miejsc i musimy jedynie sprawdzić ile jest takich możliwych mnożeń, że otrzymamy to samo. Czyli np. : a^{2} \cdot b dla (a+b)^{3} , czyli {3 \choose 2}  \cdot  {1 \choose 1} , bo mamy tyle możliwości: aab,baa,aba
Może dodam, abyś nie pytał mnie dlaczego tak jest, bo sam tego nie ogarniam. Ale tak jest. Próbowałem to zrozumieć przez 45 lat ale mi się nie udało.
Ale taka wskazówka:
(a+b)^{3} = (a+b)(a+b)(a+b) = (aa + ab + ba + bb)(a+b) = (aaa + aba + baa + bba + aab + abb + bab + bbb)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wariacje z powtorzeniami : wzor  hipero  3
 Ile monitorów można wybrać ?? jaki wzor?  Anonymous  1
 Rozwiazywanie rownania z uzyciem wzoru Newtona  birdy1986  7
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 dwumian newtona - zadanie 2  basia  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl