szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2017, o 15:54 
Użytkownik

Posty: 60
Lokalizacja: Polska
Dany jest na płaszczyźnie trójkąt równoboczny, którego bok ma długość 1. Wykazać, że:
a) wśród każdych pięciu punktów tego trójkąta znajduje się para punktów odległa od siebie o co najwyżej \frac12;
b) nie można pokryć tego trójkąta trzema kołami, z których każde ma średnicę mniejsza niż \frac{\sqrt{3}}{3}.

Jakąś wskazówka?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2017, o 23:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6363
Ad 1)
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(6,0)--(3,5.1961)--(0,0);
\draw[dasched] (3,0)--(4.5,2.598)--(1.5,2.598)--(3,0);

\end{tikzpicture}



Ad 2)
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(6,0)--(3,5.1961)--(0,0);
\draw[red] (3,3.464) circle (1.732);
\draw[orange] (1.5,0.866) circle (1.732);
\draw[blue] (4.5,0.866) circle (1.732);
\end{tikzpicture}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2017, o 23:10 
Użytkownik

Posty: 60
Lokalizacja: Polska
No dzięki, ale to jest oczywiste, dla mnie bardziej chodzi jak to formalnie uzasadnić ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2017, o 23:23 
Użytkownik

Posty: 1087
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
1) Chyba widać, że największa odległość między dowolnymi dwoma punktami w trójkącie równobocznym to długość jego boku. Mamy 5 punktów, więc w pewnym z małych trójkątów będą min. 2 punkty i odległość między nimi jest nie większa niż \frac{1}{2}.

2) Każdy z wierzchołków trójkąta musi należeć do innego z trzech kół (bo długość boku trójkąta jest większa od średnicy koła). Weźmy punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego - ortocentrum. Jest on oddalony o \frac{ \sqrt{3} }{3} od wierzchołków tego trójkąta (jest to \frac{2}{3} długości wysokości). Gdy średnica koła jest mniejsza od \frac{ \sqrt{3} }{3} to nie może ono pokrywać zarówno wierzchołka trójkąta i ortocentrum. Dlatego ortocentrum nie będzie pokryte, więc i cały trójkąt nie będzie pokryty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2017, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 60
Lokalizacja: Polska
Ad 1. Aaaa.. faktycznie masz rację, że ja nie pomyślałem żeby z małych trójkątów zrobić szuflady, to aż mi głupio.

Dziękuję bardzo, świetnie uzasadnione oba zadania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 metoda szufladkowa - zadanie 2  pacia1620  1
 zasada wlaczen i wylaczen - zadanie 2  leszczu450  6
 Zasada Dirichleta - zadanie 3  mCichy13  2
 Zasada włączania i wyłączania. - zadanie 3  Speed094  1
 zasada podziałowa?  movax1  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl