szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2017, o 01:08 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Polska
Wyznacz współczynniki A i B w definicji rekurencyjnej ciągu, którego wzór jawny ma postać a_n = 3^n.
\begin{cases} a_0 = 1, a_1=3\\ 
a_n=Aa_{n-1} +Ba_{n-2} \end{cases}
Należy skorzystać z metody z wielomianem charakterystycznym.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2017, o 01:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11816
Lokalizacja: Wrocław
Wielomian charakterystyczny ma postać
t^2-At-B
Wówczas rozwiązanie ogólne jest postaci C_1 t_1^n+C_2 t_2^n, gdzie C_1, C_2 to stałe, zaś t_1, t_2 - pierwiastki wielomianu charakterystycznego (przy założeniu, że ma on dokładnie dwa pierwiastki).
By mogło być a_n=3^n. jego pierwiastkami muszą być 0 i 3, czyli
B=0, A=3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2017, o 19:50 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Polska
Trochę nie rozumiem skąd założenie, że wielomian ma dokładnie dwa pierwiastki? A co jeśli ma jeden pierwiastek, który jest równy 3?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2017, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 14723
Lokalizacja: Bydgoszcz
ly000 napisał(a):
Trochę nie rozumiem skąd założenie, że wielomian ma dokładnie dwa pierwiastki? A co jeśli ma jeden pierwiastek, który jest równy 3?


Równanie kwadratowe ma na ogół dwa pierwiastki. Jeżeli są równe (np. równe #3, to rozwiązanie ogólne będzie postaci (A+Bn)\cdot 3^n, co też prowadzi do A=1, B=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2017, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Polska
a4karo napisał(a):
co też prowadzi do A=1, B=0

Jak rozumiem, mówisz o innych A i B niż te szukane w zadaniu?
Pozwolę sobie zmienić je na C_1 oraz C_2.

(C_1+C_2n)\cdot 3^n, gdzie C_1=1, C_2= \frac{3-t_1}{t_1}
(C_1+C_2n)\cdot 3^n = 3^n
\Rightarrow C_2=\frac{3-t_1}{t_1} = 0
\Rightarrow t_1 = 3
\Delta_t=\sqrt{A^2+4B}=0
t_1=\frac{A}{2} = 3
A=6, B=-9

Takich współczynników jest prawdopodobnie jeszcze więcej (np. A=12, B =-27). Czy należałoby znaleźć je wszystkie? Można to zrobić w łatwy sposób?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2017, o 21:05 
Użytkownik

Posty: 14723
Lokalizacja: Bydgoszcz
Kompletnie nie rozumiem co chciałes napisać powyżej.
Może spróbuj oprócz znaczków używać języka polskiego?

Jeżeli dla wszystkich naturalnych n zachodzi (C_1+C_2n)3^n=3^n to C_1=1, C_2=0 i tyle
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2017, o 23:30 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Polska
Ponawiam pytanie.
W jaki sposób wyznaczyć wszystkie współczynniki A i B? Powyższymi metodami można wyznaczyć jedynie dwie pary A i B, lecz takich współczynników jest nieskończenie wiele.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2017, o 03:56 
Użytkownik

Posty: 14723
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rozważmy ciąg b_n=a_n/3^n
Ten ciąg spełnia równanie rekurencyjne
b_n=\frac{A}{3}b_{n-1}+\frac{B}{9}b_{n-2} z warunkami początkowymi b_0=b_1=1

Widać stąd, że ciąg b_n=1 będzie rozwiązaniem rekurencji wtedy i tylko wtedy gdy
1=\frac{A}{3}+\frac{B}{9}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2017, o 07:43 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Polska
W tym sposobie nie jest wykorzystywany wielomian charakterystyczny, więc nie jest to rozwiązanie spełniające warunki zadania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 funkcja tworząca, ciąg dla niej.  matinf  8
 ciąg 10 literowy  kinwotar  6
 Algorytm Fleury’ego. Droga/ciąg Eulera  Wyleksony  2
 Ciąg rekurencyjny- wyznacz wzór jawny, udowodnij wzór oblicz  sierpa  2
 Dowód, ciąg Fibonacciego  Magda0601  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl