szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 kwi 2017, o 13:45 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Polska
L=\QQ( \sqrt[3]{3}, \alpha ),~~\alpha =- \frac{1}{2} +i \frac{ \sqrt{3} }{2},~~i^{2}=-1

Niby to zrobiłam (zajęło mi całą kartkę więc nie będę się rozpisywać), ale raczej mam źle, bo w poleceniu jest jeszcze "wykazać, że G(L/\QQ) jest grupą symetryczną S_3". Ta grupa mi nie wyszła nawet w całości symetryczna a co dopiero S_3. Chyba żeby wziąć jedynie automorfizmy 1,2 i 3, wówczas faktycznie - grupa S_3, ale tak raczej nie można...

No ok - nie jestem pewna co do wartości z automorfizmu, więc od tego zacznę:
\beta ( \sqrt[3]{3})^{3}= \beta ( \sqrt[3]{3}^{3})= \beta (3)=3; ~~~~
 \beta ( \alpha )^{3}= \beta ( \alpha ^{3})= \beta (1)=1
Zatem mamy
\beta ( \sqrt[3]{3})=\sqrt[3]{3} \cdot  \alpha ;~~ \beta ( \sqrt[3]{3})=\sqrt[3]{3} \cdot  \alpha^{2};~~ \beta ( \sqrt[3]{3})=\sqrt[3]{3} \cdot  1;\\
\beta ( \alpha )= \alpha  \cdot  \alpha= \alpha ^{2} ;~~\beta ( \alpha )= \alpha  \cdot  1= \alpha
Nie jestem pewna czy (i dlaczego) w 1-szym przypadku powinnam użyć alfy w każdej potędze a w 2-gim tylko w pierwszej i 3-ciej(może dlatego, że 2-gą potęgę można zapisać za pomocą 1-szej io 3-ciej), ale na pewno musi wyjść 6 automorfizmów bo rząd był 6 (potwierdzone przez profesora).
No więc mając takie dane otrzymałam 6 automorfizmów, które w tabeli mnożenia mają się nijak do symetryczności.
[spróbuję wrzucić tabelki ale nie wiem czy mi się uda]

-- 21 kwi 2017, o 13:22 --

\cdots~~~~\beta _1 ~~~~~~\beta _2 ~~~~~~  \beta _3 ~~~~~~~~  \beta _4 ~~~~~~  \beta _5 ~~~~~~  \beta _6 \\
 \sqrt[3]{3}  ~~ \sqrt[3]{3} ~~ \sqrt[3]{3} \cdot  \alpha ~~ \sqrt[3]{3} \cdot  \alpha ^{2} ~~ \sqrt[3]{3} ~~ \sqrt[3]{3} \cdot  \alpha  ~~ \sqrt[3]{3} \cdot  \alpha ^{2} \\
 \alpha  ~~~~~~  \alpha~~~~~~  \alpha ~~~~~~~~  \alpha ~~~~~~~~  \alpha^{2} ~~~~~~ \alpha^{2} ~~~~~~ \alpha^{2}

\cdot~~~~\beta _1 ~~\beta _2 ~~  \beta _3 ~~\beta _4 ~~\beta _5 ~~\beta _6 \\
 \beta _1~~\beta _1 ~~\beta _2 ~~  \beta _3 ~~\beta _4 ~~\beta _5 ~~\beta _6\\
 \beta _2~~\beta _2 ~~\beta _3 ~~  \beta _1 ~~\beta _6 ~~\beta _4 ~~\beta _5\\
 \beta _3~~\beta _3 ~~\beta _1 ~~  \beta _2 ~~\beta _5 ~~\beta _6 ~~\beta _4 \\
 \beta _4~~\beta _4 ~~\beta _5 ~~  \beta _6 ~~\beta _1 ~~\beta _2 ~~\beta _3 \\
 \beta _5~~\beta _5 ~~\beta _6 ~~  \beta _4 ~~\beta _3 ~~\beta _1 ~~\beta _2 \\
 \beta _6~~\beta _6 ~~\beta _4 ~~  \beta _5 ~~\beta _2 ~~\beta _3 ~~\beta _1

Nie dałam rady tabelki zrobić - nie chce się kompilować ;(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2017, o 14:40 
Użytkownik

Posty: 12702
Lokalizacja: Bydgoszcz
Przecież tabelka, którą napisałaś jest własnie tabelką grupy S_3:
\beta_1,\beta_2,\beta_3 to obroty trójkąta, a \beta_4,\beta_5,\beta_6 to jego symetrie.

Ta grupa nie jest przemienna, ale to nijak sie ma do symetryczności.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 kwi 2017, o 14:46 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Polska
a4karo, Czyli wychodzi na to, że (jak zwykle) zawaliłam teorię. Dziękuję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2017, o 14:55 
Użytkownik

Posty: 12702
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ta grupa, podobnie jak inne grupy permutacji, nazywana bywa grupą symetryczną.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciała algebraicznie domknięte  Spektralny  0
 znaleźć podgrupę izomorficzną  matematix  5
 Wyznaczanie orbity punktów względem działania.  filip96  2
 Grupa Galois rozszerzenia  klaudus1107  0
 Ciała, wielomiany  piotrekd4  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl