szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2017, o 10:24 
Użytkownik

Posty: 5492
Lokalizacja: Kraków
Rozwiązać równanie funkcyjne f( f(x) y)= x^2 f(xy) gdy f: \RR_{+} \to \RR_{+}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2017, o 11:40 
Użytkownik

Posty: 10767
Lokalizacja: Wrocław
bzdety, nie czytać:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2017, o 11:43 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
Premislav napisał(a):
Kładąc x:=1, y:=x, dostajemy
f(f(1)x)=f(x), stąd jeżeli f(1)=0, to f\equiv 0 (co działa), a jeżeli f(1) > 0, to mamy f(x)=cx,

Dlaczego? Mamy tylko f(cx)=f(x)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2017, o 13:28 
Użytkownik

Posty: 10767
Lokalizacja: Wrocław
Oj, same bzdury dziś piszę, przepraszam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2017, o 02:57 
Użytkownik

Posty: 10767
Lokalizacja: Wrocław
(1) f( f(x) y)= x^2 f(xy)
Kładąc w (1) y=x, dostajemy
(2) f(f(x)x)=x^2f(x^2)
Natomiast wstawiając w (1) y=1, otrzymujemy
(3) f(f(x))=x^2 f(x)
Zaś wstawiając w (1) y=\frac 1 x, mamy
(4) f\left(  \frac{f(x)}{x} \right)=x^2 f(1)
Podstawiając w (4) x:=f(x) i korzystając z powyższych faktów, uzyskujemy
(5) f(x^2)=f^2(x) f(1)
Kładąc w tej ostatniej równości x=1, dostajemy, że f(1)=f^3(1), stąd f(1)=0 \vee f(1)=1. Jeżeli f(1)=0, to łatwo uzyskać, że f \equiv 0 (w sumie to nie wiem co oznacza \RR^+ - czy liczy się z zerem), natomiast jeżeli f(1)=1, to
(5) przyjmuje formę
(5a)f(x^2)=f^2(x).
i podobnie zależność (4) przyjmuje formę
(4a)f\left(  \frac{f(x)}{x} \right)=x^2
Wstawiając zależność (5a) do prawej strony (2), dostajemy, że
f(f(x)x)=x^2 f^2(x)=(f(x)x)^2,
zatem dla dowolnego t \in \mathrm{rng} xf(x) jest f(t)=t^2. To podpowiada, do czego należy dążyć...

-- 4 maja 2017, o 03:27 --

Potem można spróbować pociągnąć jakoś tak:
f(x)= \frac{f^2(x)}{f(x)}= \frac{f(x^2)}{f(x)}
więc
x^2 f(x)=f(f(x))=f\left(  \frac{f(x^2)}{f(x)} \right)=x^4f\left(  \frac{x^2}{f(x)} \right)=x^4f\left(  \frac{x^2 f(x)}{f^2(x)} \right)
czyli dla x>0 jest
f(x)=x^2 f\left(  \frac{x^2 f(x)}{f^2(x)} \right)=x^2f\left(  \frac{f(x)}{\left( \frac{f(x)}{x}  \right)^2 } \right)
i należałoby pokazać, że ten drugi czynnik to jedynka.

A jakieś głupie rozważania z zerem sobie darujmy.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jak rozwiązać równanie?  gogoad  4
 równanie z parametrem - zadanie 12  basia  1
 Rownanie z dwiema niewiadomymi  cuube  1
 rownanie f okresowej  mol_ksiazkowy  2
 Krzywa i rownanie logistyczne <-- poszukuje materialow  xax82  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl