szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2017, o 11:21 
Użytkownik

Posty: 264
Lokalizacja: Lub
Wszystkie liczby całkowite dodatnie są koloru czerwonego lub zielonego.
Udowodnij, że istnieją takie różne liczby całkowite dodatnie a i b, że liczby a,b,a+b są tego samego koloru.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2017, o 13:56 
Użytkownik

Posty: 1086
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Obóz OM 2008, zad. 1, str. 19:
https://www.om.edu.pl/sites/default/files/zadania/oboz/zwardon2008r.pdf
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2017, o 16:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2388
Lokalizacja: Katowice
Można łopatologicznie dojść do konkluzji w następujący sposób (nie wprost):

Liczby naturalne podzielono na dwa rozłączne zbiory A oraz A' takie, że A\cup A'=\mathbb{N} oraz A\cap A'=\emptyset. Wbrew tezie przypuśćmy, że dla każdych różnych a,b\in A mamy a+b\in A' oraz podobnie dla różnych a',b'\in A' zachodzi a'+b'\in A (innymi słowy każda suma dwóch różnych liczb tego samego koloru jest innego koloru).

Weźmy a,b\in A tak, że b>2a (gdyby nie dało się dobrać takiego b, zbiór A byłby ograniczony, a więc od pewnego miejsca wszystkie liczby byłyby jednego koloru A' co pociągałoby tezę). Z hipotezy mamy a+b\in A', ale także b-a\in A': w przeciwnym razie znaleźlibyśmy dwie różne (patrz: założenie b>2a) liczby tego samego koloru, których suma a + (b-a) = b jest tego samego koloru. Stąd (a+b)+(b-a)=2b\in A. Podobnie sprawdzamy, że 2b-a\in A', ponieważ w przeciwnym razie znaleźlibyśmy trójkę a + (2b-a) = 2b tego samego koloru.

Zatem

\underbrace{b}_{\in A}+\underbrace{2b}_{\in A}=3b\in A'

oraz jednocześnie

\underbrace{2b-a}_{\in A'}+\underbrace{a+b}_{\in A'}=3b\in A

Stąd 3b\in A\cap A'=\emptyset, sprzeczność.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kombinacje liczb  gail  5
 Wylosowanie liczb podzielnych przez 25 - zadanie 2  szanuj  2
 Ile jest liczb...; funkcja tworząca; wzór jawny.  marta81  1
 Zliczanie podziałów liczb  matinf  13
 Tożsamości liczb naturalnych  Agata80  15
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl