szukanie zaawansowane
 [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2017, o 15:33 
Użytkownik

Posty: 25
Hej, mam dwa zadania:
1. Podaj 5-ty wyraz ciągu, którego funkcja tworząca ma postać
F(x) =  \frac{1}{\left( 1-x\right)  \cdot \left( 1+x\right) }

Spróbowałem to jakoś policzyć i wyszło mi takie coś:
\\A(x) =  \sum_{n=0}^{\infty }  x^{n}  =  \frac{1}{1-x}
\\B(x) =  \sum_{n=0}^{\infty } (-1) ^{n} \cdot x^{n}  =   \frac{1}{1+x} 
\\
\\F(x) = \frac{1}{(1-x) \cdot (1+x)} = \sum_{n=0}^{\infty}  x^{n} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1) ^{n} \cdot x^{n}
\\
 \sum_{n=0}^{5}  x^{n} \cdot \sum_{n=0}^{5} (-1) ^{n} \cdot x^{n} = \left( 1 + x  + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5}\right)  \cdot \left( 1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{5}\right)  = 1 + x^{2} + x ^{4}  - x ^{6}  - x ^{8}  - x ^{10}

Czy to jest już koniec zadania, jeżeli tak to w jaki sposób rozwiązywać tego typu zadania bez znajomości wielu konkretnych funkcji tworzących poszczególnych ciągów?

2. Okresł {n \choose 2}, jeśli 5-ty składnik rozwinięcia poniższego wyrażenia nie zależy od x.
\left( \sqrt{2 ^{x} } +  \frac{1}{ \sqrt{2 ^{x-1} } } \right)  ^{n}

Tego zadania nie potrafię ruszyć, jedyne do czego doszedłem to rozpisanie tego wyrażenia z dwumianu Newtona
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2017, o 16:11 
Użytkownik

Posty: 12526
No, OK, przy x^5 masz współczynnik zero, skąd płynie wniosek, że a_5=0. Można też zauważyć, iż
\frac{1}{(1-x)(1+x)}=  \frac{1}{2} \cdot  \frac{1}{1-x} +\frac{1}{2} \cdot  \frac{1}{1+x}=\frac 1 2 \sum_{n=0}^{ \infty }x^n+\frac 1 2 \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n x^n
więc n-ty wyraz tego ciągu to
\frac 1 2 \cdot 1+\frac 1 2 \cdot (-1)^n= \frac{1+(-1)^n}{2}
więc dla n=5 otrzymujemy wyraz równy zero.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2017, o 16:20 
Użytkownik

Posty: 25
Premislav napisał(a):
No, OK, przy x^5 masz współczynnik zero, skąd płynie wniosek, że a_5=0.


Czy chodzi o te x^{5} po wymnożeniu w 4. linijce, w ogóle skąd bierze się taka informacja, że jak współczynnik przy x^{5} jest równy zero to piąty wyraz też jest równy zero?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2017, o 19:29 
Użytkownik

Posty: 12526
Funkcja tworząca ciągu (a_n)_{n=0}^{\infty} to
\sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n
Więc przy k-tej potędze stoi...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2017, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 15125
Lokalizacja: Bydgoszcz
Oj, Premislav, chyba pomieszałeś dwa zadania.

Wsk do 2): napisz piąty wyraz rozwinięcia ( \sqrt{2 ^{x} } + \frac{1}{ \sqrt{2 ^{x-1} } } ) ^{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2017, o 20:48 
Użytkownik

Posty: 12526
a4karo, nie rozumiem tej uwagi... Moim zdaniem nic nie pomieszałem (prawie na pewno, tj. z prawdopodobieństwem 1).

Jeśli chodzi o 2), którego wcześniej nie zauważyłem, to tutaj kerajs rozwiązał bardzo podobne:
420699.htm#p5490467
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2017, o 21:13 
Użytkownik

Posty: 15125
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ok to ja pomieszalem. Tu piąty i tam piąty...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2017, o 14:54 
Użytkownik

Posty: 25
Co do drugiego, rozpisałem i wyszło mi takie coś
{n \choose 4} *  (\sqrt{2 ^{x} }) ^{n-4} * (\sqrt{2 ^{x-1} }) ^{-4} = {n \choose 4} *  (\sqrt{2 ^{x} }) ^{n} * (\sqrt{2 ^{x} }) ^{-4} * (\sqrt{2 ^{x} } * \sqrt{2 ^{-1}}) ^{-4} =  {n \choose 4} * (2 ^{x}) ^{ \frac{n}{2}} * (2 ^{x}}) ^{-2} * (2 ^{x}) ^{-2} * 2 ^{2} =
{n \choose 4} * (2 ^{x}) ^{ \frac{n}{2} - 4} * 2 ^{2}
Dalej nie wiem co robić :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2017, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 15125
Lokalizacja: Bydgoszcz
GypsyHatter napisał(a):
Co do drugiego, rozpisałem i wyszło mi takie coś
{n \choose 4} *  (\sqrt{2 ^{x} }) ^{n-4} * (\sqrt{2 ^{x-1} }) ^{-4} = {n \choose 4} *  (\sqrt{2 ^{x} }) ^{n} * (\sqrt{2 ^{x} }) ^{-4} * (\sqrt{2 ^{x} } * \sqrt{2 ^{-1}}) ^{-4} =  {n \choose 4} * (2 ^{x}) ^{ \frac{n}{2}} * (2 ^{x}}) ^{-2} * (2 ^{x}) ^{-2} * 2 ^{2} =
{n \choose 4} * (2 ^{x}) ^{ \frac{n}{2} - 4} * 2 ^{2}
Dalej nie wiem co robić :/


Dla jakiego wykłądnika wyrażenie {2^x}^a nie zależy od x ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2017, o 22:04 
Użytkownik

Posty: 25
Zapewne dla a = 0, ale dalej mam problem ze zrozumieniem tego zadania i znowu jestem w kropce.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2017, o 22:59 
Użytkownik

Posty: 12526
Może czytelniej będzie tak (choć napisałem w zasadzie to, co a4karo):
ze wzoru dwumianowego Newtona mamy
\left( \sqrt{2 ^{x} } + \frac{1}{ \sqrt{2 ^{x-1} } } \right) ^{n}= \left( 2^{\frac x 2}+2^{- \frac{x-1}{2} }\right)^n= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}2^{k\frac x 2}2^{-(n-k) \frac{x-1}{2}}=\\= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}2^{x{\red\left(  \frac{k}{2}- \frac{n-k}{2}  \right)  } + \frac{n-k}{2} }
Kiedy to czerwone jest równe zero?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2017, o 11:55 
Użytkownik

Posty: 25
Czy to będzie, gdy n = 2k, a k = 5, więc rozwiązanie to {10 \choose 2}? Dobrze wnisokuję czy poniosła mnie fantazja?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2017, o 12:09 
Użytkownik

Posty: 12526
Tak, dobrze.
Góra
PostNapisane: 4 maja 2017, o 12:29 
Użytkownik
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sqrt(2%5Ex)+%2B+1%2Fsqrt(2%5E(x-1))+)+%5E10

Który to będzie ten piąty składnik ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2017, o 12:37 
Użytkownik

Posty: 12526
A sorry, bo od zera to przecież idzie, no to powinno być
n=2k dla k=4, słusznie.
Czyli właściwym byłoby n=8 i odpowiedź to {8 \choose 2}.
Dzięki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź a_n wyraz rozwinięcia dwumianu  Anonymous  1
 Ilość różnowartościowych niemonotonicznych funkcji.  Anonymous  2
 zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny  eoor  1
 znajdz wyraz  bullay  1
 Udowodnić sume ciągu  mostostalek  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl