szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2017, o 14:08 
Użytkownik

Posty: 73
Załóżmy, że dla pewnych x,y,z>0 zachodzi (x+y+z)xyz=k, gdzie k jest stałą. Czy można jakoś oszacować z góry przez k wyrażenie \frac{xyz}{x+y+z} i pokazać, że równość zachodzi tylko dla x=y=z?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2017, o 14:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9855
Lokalizacja: Wrocław
Metoda heurystyczna:
dla x=y=z mamy
3x^4=k
oraz \frac{xyz}{x+y+z}=\frac 1 3 x^2, a więc wówczas
\frac{xyz}{x+y+z}= \frac{\sqrt{k}}{3\sqrt{3}}=\sqrt{ \frac{k}{27} }
Więc to jest kandydat na takie szacowanie.

No to teraz spróbujmy pokazać, że to działa. Równoważnie:
\frac{(xyz)^2}{(x+y+z)^2} \le  \frac{k}{27}
Ale z nierówności między średnimi:
xyz \le \left(  \frac{x+y+z}{3} \right)^3
i pozamiatane, bo
\frac{(xyz)^2}{(x+y+z)^2}=xyz \cdot  \frac{xyz}{(x+y+z)^2}
i szacujemy pierwszy czynnik.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 oszacowanie wyrażenia  je?op  6
 Oszacowanie wyrażenia - zadanie 2  Tom44  5
 Uprościć wyrażenia dla warunku  winfast29  1
 wyrażenia wymierne - zadanie 13  soria  1
 wzory skróconego mnożenia (trzy wyrażenia w nawiasie)  krokodylek  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl