szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2017, o 00:26 
Użytkownik

Posty: 509
Lokalizacja: Warszawa
Witam.

Mam spore problemy z rozwiązywaniem zadań z funkcji tworzących, których nawet nie ruszyłem na zajęciach a trzeba je umieć.

Wziąłem sobie jakieś dowolne zadanie:

Wyznacz f. tworzącą ciągu:
a_{n}=n+1
A(x)= \sum_{i=0}^{n} (n+1)x ^{n}

Co teraz powinienem uzyskać z tego równania? Do jakiej postaci doprowadzić to równanie?

Jakby mi ktoś mógł napisać jakiś schemat, albo mniej więcej jak to się rozwiązuje.

Dziękuję i Pozdrawiam.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2017, o 00:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
Czasem pomaga różniczkowanie i całkowanie wyraz po wyrazie (wewnątrz przedziału zbieżności możemy różniczkować i całkować szeregi potęgowe wyraz po wyrazie), a czasem np. zmiana kolejności sumowania. Jest też często używany fakt, że
\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x} dla |x|<1

Niepoprawnie zapisałeś funkcję tworzącą dla tego ciągu. Mamy dla a_n=n+1:
A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}(x^{n+1})'=\\=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n+1} \right)'=\left(\frac {x}{1-x}\right)'=\frac{1}{(1-x)^2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 maja 2017, o 23:58 
Użytkownik

Posty: 509
Lokalizacja: Warszawa
A czy w przypadku takiego zadania:

a _{n}=nq ^{n}
q \in R \setminus \left\{ 0\right\}
A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} nq ^{n} x ^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty} n(qx)^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}= \frac{qx}{(1-qx) ^{2}}

Zastosowałem tutaj funkcję tworzącą dla ciągu a _{n}=n, czyli A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}nx ^{n} = \frac{x}{(1-x) ^{2} }

Czy to jest poprawne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 00:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
Tak, jak najbardziej jest OK.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 00:35 
Użytkownik

Posty: 509
Lokalizacja: Warszawa
a _{n}=3 ^{n}+n2 ^{n}
A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} (3 ^{n}+n2 ^{n}) x ^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty} (3 ^{n}x ^{n})+\sum_{n=0}^{+\infty}(n2 ^{n} x ^{n})}=\sum_{n=0}^{+\infty} (3x) ^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty}n(2x) ^{n}}= \frac{1}{1-3x}+ \frac{2x}{(1-2x) ^{2}}

Poprawnie?

To to już mniej więcej rozumiem, a w jaki sposób wyznaczyć ciąg o podanej funkcji tworzącej np.

A(x)= \frac{x}{6x ^{2}-5x+1 }

Tzn. mam teraz doprowadzić to równanie do takiej postaci, aby pojawiły się tam czynniki tj. \frac{1}{1-x} etc.?

Innymi słowy zacząć od końca?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 00:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
Dla a _{n}=3 ^{n}+n2 ^{n} wyznaczyłeś funkcję tworzącą poprawnie.

Co do tego nowego, rozłóż
\frac{x}{6x ^{2}-5x+1 } na ułamki proste (jak nie wiesz, o co w tym chodzi, to zajrzyj może tu: 298450.htm) i dopasuj do wzorków, które już stosowałeś, tj.
\sum_{n=0}^{ \infty }(ax)^n=\frac{1}{1-ax}\\ \sum_{n=0}^{ \infty }n(ax)^n=\frac{ax}{(1-ax)^2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 00:50 
Użytkownik

Posty: 509
Lokalizacja: Warszawa
Dobra, to Tym zajmę się jutro, a dziś jeszcze mam pytanie odnośnie wyznaczania funkcji tworzących.

Jeśli mam wyznaczyć f. tworzącą sumy dwóch ciągów przy czym określone są one następująco:

a _{n}=(-1) ^{n}
b _{n}=\begin{cases} 1 &\text{dla } n =2k\\0 &\text{dla } n=2k+1 \end{cases}

To mam osobno wykonać funkcję tworzącą dla wyrazów o indeksach parzystych i nieparzystych i na końcu zsumować? Tzn. W obydwóch przypadkach a _{n} się nie zmienia, ale b _{n} przyjmuje inną wartość.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 01:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
No w sumie można tak powiedzieć. Wtedy funkcja tworząca (b_n)
to \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 01:28 
Użytkownik

Posty: 509
Lokalizacja: Warszawa
Można to zapisać w ten sposób?

\sum_{n=0}^{ \infty }1x ^{n}+0x ^{n}?

Tylko czemu w wykładniku jest 2?

Czy dobrze myślę, że to zależy dla jakiego przedziału to jest? Tzn moje równanie po poprawie wyglądałoby tak:
\sum_{n=0}^{ \infty }1x ^{2n}+0x ^{n}
albo
\sum_{n=0}^{ \infty }1x ^{2n}+0x ^{2n+1}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 01:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Można to zapisać w ten sposób?

\sum_{n=0}^{ \infty }1x ^{n}+0x ^{n}?

Nie, to jest zupełnie źle. Funkcją tworzącą ciągu (b_n) jest
\sum_{n=0}^{ \infty } b_n x^n
Mamy b_0=1, b_1=0, b_2=1, b_3=0, b_4=1\dots czyli przy jednomianach o potędze nieparzystej stoją współczynniki równe zero, a przy parzystych - jedynki. Stąd
funkcją tworzącą ciągu (b_n) jest \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 02:10 
Użytkownik

Posty: 509
Lokalizacja: Warszawa
Ostatecznie:

\sum_{n=0}^{ \infty }(-1) ^{n}x ^{n}  +1x ^{2n}=\sum_{n=0}^{ \infty }(-x) ^{n}  +x ^{2n}= \frac{1}{1+x}+ \frac{1}{(1-x) ^{2}}

Czy możliwy jest taki zapis?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 02:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
Ja bym dodał jakieś nawiasy, w stylu
\sum_{n=0}^{ \infty }\left[(-x) ^{n} +x ^{2n}\right],
a ponadto ostatnia równość nie jest prawdziwa, gdyż zazwyczaj
\sum_{n=0}^{ \infty } x^{2n} \neq  \frac{1}{(1-x) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 11:10 
Użytkownik

Posty: 509
Lokalizacja: Warszawa
Mógłbym prosić o jakąś podpowiedź co zrobić z x ^{2n}?

Jeśli mamy np udowodnić, że B(x)=A(x) \cdot x

b _{n}=\begin{cases} 0 &\text{dla } n =2k\\1 &\text{dla } n=2k+1 \end{cases}
a _{n}=\begin{cases} 1 &\text{dla } n =2k\\0 &\text{dla } n=2k+1 \end{cases}

A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} 1x^{2n}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n}
B(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}1x^{2n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}
\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}=x\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n}
\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}

Czy to jest poprawnie i czy trzeba dalej to rozwiązywać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 12:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Mógłbym prosić o jakąś podpowiedź co zrobić z x ^{2n}?

No to przecież proste jest.
x^{2n}=(x^2)^n i wzór na sumę szeregu geometrycznego.

A to nowe zadanie zrobiłeś dobrze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 14:17 
Użytkownik

Posty: 509
Lokalizacja: Warszawa
Wyznaczyć ciąg o podanej funkcji tworzącej:

A(x)= \frac{1}{2x ^{2}-3x+1 }

A(x)= \frac{1}{(x- \frac{1}{2})(x-1) }=\frac{2}{(1-2x)(1-x) }
=\frac{A}{(1-2x) }+ \frac{B}{(1-x)}= \frac{A+b+x(-A-2B)}{(1-2x)(1-x)}

A=4
B=-2

\frac{4}{(1-2x) }+ \frac{-2}{(1-x)}=4\sum_{n=0}^{+\infty}(2x)^{n}-2\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}

a _{n}=4 \cdot 2 ^{n} -2

Poprawnie rozwiązane?

Nie rozumiem pewnej kwestii, mianowicie:

A(x)= \frac{1}{(x- \frac{1}{2})(x-1)}
I teraz musimy doprowadzić do postaci (1-qx)

To wynikiem będzie:
\frac{1}{(1- 2x)(1-x)}
Czy może
\frac{1}{2} \frac{1}{(1- 2x)(1-x)} ?

Rozwiązując zadanie z bez \frac{1}{2} wychodzi tak jak powinno, ale nie wiem czemu tam znika ta \frac{1}{2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny  eoor  1
 Mały problem z funkcją tworzącą  kogutto  1
 Przeliczanie zbiorów oraz f. tworząca  dyskretny  0
 Udowodnić sume ciągu  mostostalek  7
 Postac rekurencyjna ciagu 2,2,-4-4,8,8,-16,-16,32,32....  jesionekl  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl