szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 17:35 
Użytkownik

Posty: 77
Lokalizacja: Wrocław
a_{0}=1 ,  a_{n}=2 a_{n-1}   +3

Rozwiązanie ogólne chyba będzie miało postać
a_{n} = A \cdot 2 ^{n}

jak wyznaczyć szczególne?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2017, o 20:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2369
Lokalizacja: Katowice
Ciąg wyznaczony przez powyższe równanie rekurencyjne jest tylko jeden.

Zacznijmy od wyznaczenia wszystkich rozwiązań równania a_{n}=2 a_{n-1}+3. Jest to równanie niejednorodne, więc zaczynamy od znalezienia rozwiązania równania jednorodnego odpowiadającemu powyższemu, tj.:

a_n=2a_{n-1}

które istotnie ma postać a_n=A \cdot 2^n. Uzmiennimy teraz stałą A_n (porównaj metody rozwiązywania równań różniczkowych): a_n=A_n 2^n i wstawimy do równania:

A_n 2^n =2\cdot A_{n-1}2^{n-1}+3= 2^nA_{n-1}+3

Uzyskujemy równanie różnicowe:

A_n-A_{n-1} =\frac{3}{2^n}

By wyznaczyć A_n, wystarczy przyjąć A_0=c i zsumować prawą stronę; otrzymując

A_n=-3\cdot 2^{-n} +3+c

co daje nam ogólną postać rozwiązania:

a_n = c \cdot 2^n+3\cdot 2^n-3

By wyznaczyć c i jedyne rozwiązanie problemu, wystarczy wstawić n=0 i porównać z warunkiem a_0=1.

To jest ogólna metoda wyznaczania rozwiązań równań rekurencyjnych poprzez równania różnicowe pierwszego rzędu. Czasami rozwiązanie można "zgadnąć", w tym wypadku

a_n=4\cdot 2^n-3

istotnie spełnia podane warunki (i, jak łatwo się przekonać, jest jedynym rozwiązaniem).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązania szczególne równań rekurencyjnych  dathavi  7
 Całkowite (nieujemne) rozwiązania równania  don_sZogun  1
 Rozwiązanie ogólne i szczególne równania rekurencyjnego.  Aegon  3
 Zliczanie grafów, sprawdzenie poprawności rozwiązania.  donmaciej  9
 Kongruencja - Wyznaczyc rozwiazania x kongruencji  Barver  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl