szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2017, o 09:45 
Użytkownik

Posty: 77
Lokalizacja: Wrocław
(a+b+c+d) ^{20}

a) wartość współczynnika przy wyrazach a ^{11}b^{6}c^{2}d i a^{11}b^{9}
b) liczbę wyrazów tego rozwinięcia;
c) sumę wszystkich współczynników.

Do wykorzystania gdzieś na internecie znalazłem taki wzorek:
(x _{1} + x _{2}+ ... x _{r})^{n} =  \sum_{k _{1}+k_{r}=n }^{}   {n \choose k _{1},...,k_{r} }x _{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}...x_{r}^{k_{r}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2017, o 11:54 
Użytkownik

Posty: 12615
Zacznijmy może od wzoru. Ja bym napisał taki (to chyba jest to samo):
(x_1+x_2+\dots+x_r)^n= \sum_{k_1, \dots k_r \in \NN, k_1+\dots+k_r=n}^{} {n \choose k_1}{n-k_1 \choose k_2}\dots{n-k_1-\dots k_{r-1} \choose k_r}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_r^{k_r}=\\=\sum_{k_1, \dots k_r \in \NN, k_1+\dots+k_r=n}^{} \frac{n!}{k_1!\dots k_r !}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_r^{k_r}
Interpretacja kombinatoryczna tego wzorku jest jakaś taka: zapisujemy
(x_1+\dots+x_r)^{n}=\underbrace{( x_1+\dots+x_r)\cdot  \dots(x_1+\dots+x_r)}_{n \text{ czynników }}
Rzecz jasna, po wymnożeniu każda z liczb x_1, \dots x_r występuje w danym składniku z pewną potęgą naturalną, co najmniej zero, a co najwyżej n. Wybieramy x_1 z k_1 nawiasów (gdzie k_1 \in \left\{ 0, \dots n}\right\}), potem zostaje n-k_1czynników postaci x_1+\dots+x_r, z których wybieramy z k_2 nasze x_2 na {n -k_1 \choose k_2} sposobów dla k_2 \in \left\{ 0, \dots n-k_1\right\} i tak dalej. I coś trzeba dalej w tym stylu pomarudzić.
Alternatywnie można ten wzór udowodnić indukcyjnie.

Z tego idą wszystkie podpunkty.
a) wystarczy wstawić n=20, r=4, no i w pierwszym przypadku
k_1=11, k_2=6, k_3=2, k_4=1, a w drugim...
b)ile jest rozwiązań w liczbach naturalnych nieujemnych równości
k_1+\dots+k_r=n - jak się zdaje {n+r-1 \choose r-1}, więc wstawiając n=20, r=4, mamy...
c)a to zrób sam. Ta suma to
\sum_{k_1+\dots+k_r=n}^{}  \frac{n!}{k_1!\dots k_r!}
Jeśli sobie z tym samodzielnie nie poradzisz, to poszukaj informacji o współczynniku wielomianowym. Ale ja bym sobie na Twoim miejscu przypomniał, jak uzyskujemy rozwiązanie dla r=2, czyli dowód równości \sum_{k=0}^n{n \choose k}=2^n...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozstawienie osób przy stole. Ponumerowane i nieponumerowa  Marcin20  1
 doporowadz do najprostrzej postaci i podaj zalozenia  yossarian  1
 Silnia-oblicz wartość wyrażenia  deftfan  2
 Potegowani - wspolczynnik przy danej potedze  soku11  2
 rodzina przy stole  FEMO  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl