szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2017, o 15:56 
Użytkownik

Posty: 107
Lokalizacja: kraków
Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa 30.

Suma cyfr ma być 30, a reszta ma być 6. Czyli dozwolone opcje to: 321,222,114, coś jeszcze?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2017, o 16:55 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
Nie masz wypisać tylko obliczyć.
Mają być dwie dziewiątki i szóstka, ich suma to już 24, więc pozostałe mają mieć sumę 6
na {6 \choose 2} sposobów wybierasz miejsca, na których staną dziewiątki, na {6 \choose 1} jedno miejsce, gdzie będzie szóstka
trzy pozostałe cyfry muszą spełniać warunek:
x_1 + x_2 + x_3 = 6 \wedge 1 \le x \le 4
x od 1 do 4 bo zera nie można a powyżej 4 nie ma sensu szukać
równania tego typu najłatwiej rozwiązać tak:
\left(z + z^2 + z^3 + z^4 \right)^3
bo potęgi przy z reprezentują dostępne wartości, potęga 3 ilość zmiennych
po rozwinięciu tej funkcji sprawdzamy współczynnik przy z^6 (bo suma ma być 6)
w tym przypadku w rozwinięciu wychodzi \ldots + 10z^6 + \ldots więc te zmienne można dobrać na 10 sposobów
mamy więc:
{6 \choose 2}{6 \choose 1}\cdot 10 = 15 \cdot 6 \cdot 10 = 900

natomiast wybierając tę metodę (funkcję generującą) jeśli by wyszło, że nie masz pod ręką programu, który ją rozwinie a na papierze nie ma szans (bo za duże liczby) to akceptowany jest wynik:
{6 \choose 2}{6 \choose 1}\cdot\left( \left(z + z^2 + z^3 + z^4 \right)^3 \left[ z^6 \right] \right)

ten zapis w kwadratowym nawiasie mówi właśnie, że należy tam wziąć współczynnik z z^6 z rozwinięcia tej funkcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2017, o 17:03 
Użytkownik

Posty: 107
Lokalizacja: kraków
To jest zadanie z matury rozszerzonej z tego roku więc prosiłbym o rozwiązanie na tym poziomie...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2017, o 17:13 
Administrator

Posty: 22619
Lokalizacja: Wrocław
Z tego roku to raczej nie.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2017, o 17:16 
Użytkownik

Posty: 107
Lokalizacja: kraków
http://plikicke.cie.men.gov.pl/_EGZAMIN ... 1P-172.pdf
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2017, o 17:31 
Administrator

Posty: 22619
Lokalizacja: Wrocław
Masz rację, przegapiłem to zadanie.

kmmc napisał(a):
Suma cyfr ma być 30, a reszta ma być 6. Czyli dozwolone opcje to: 321,222,114 ?

Tak. Każdy z tych przypadków rozpatrujesz osobno:

1) 123
Miejsce dla szóstki wybierasz na 6 sposobów, miejsce dla dziewiątek wybierasz na {5 \choose 2}=10 sposobów. Zostały Ci trzy miejsca na cyfry 1,2,3, możesz je ustawić na 3!=6 sposobów. Razem masz

6\cdot  10\cdot 6=360 możliwości.

2) 114
Miejsce dla szóstki wybierasz na 6 sposobów, miejsce dla dziewiątek wybierasz na {5 \choose 2}=10 sposobów. Zostały Ci trzy miejsca na cyfry 1,1,4. Miejsce dla 4 wybierasz na 3 sposoby, na pozostałych miejscach wpisujesz jedynki. Razem masz

6\cdot  10\cdot 3=180 możliwości.

3) 222
Miejsce dla szóstki wybierasz na 6 sposobów, miejsce dla dziewiątek wybierasz na {5 \choose 2}=10 sposobów. Zostały Ci trzy miejsca na cyfry 2,2,2 - nie masz żadnego wyboru. Razem masz

6\cdot  10\cdot 1=60 możliwości.

W sumie masz 360+180+60=600 możliwości.

Punktacja dość oczywista: będzie pewnie po jednym punkcie za każdy przypadek i jeden za ich połączenie.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile jest permutacji, których pierwsz l. jest wieksza od 2  Oleszko12  3
 Ile jest liczb pięciocyfrowych,w których....  Uczeń123  1
 Liczby czterocyfrowe parzyste do sprawdzenia  hubertg  6
 cyfry 2 i 5 występuję dwa razy  celia11  1
 Podzielniki liczby 6000  Ania221  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl