szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 22 maja 2017, o 20:51 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Bydgoszcz
Udowodnić nierówność dla a,b rzeczywistych:

\frac{a^{6} + b^{6}}{2}  \ge  \frac{a+b}{2}  \cdot  \frac{a^{2} + b^{2}}{2}  \cdot  \frac{a^{3} + b^{3}}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2017, o 21:06 
Moderator

Posty: 1893
Lokalizacja: Trzebiatów
Można uogólnić i indukcyjnie rozwiązać. Inny sposób to zauważenie, że \frac{a^{n+m} + b^{n+m}}{2}  \ge   \frac{a^{n}+b^{n}}{2} \cdot  \frac{a^{m}+b^{m}}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2017, o 21:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10286
Lokalizacja: Wrocław
\frac{a^6+b^6}{2}=\frac 1 2\left((a^3)^2+(b^3)^2\right)=\left( \left( \frac{1}{2}  \right)^2+\left( \frac{1}{2}  \right)^2  \right)\left( (a^3)^2+\left( b^3\right)^2 \right)  \ge \left(  \frac{a^3+b^3}{2} \right)^2
na mocy nierówności Cauchy'ego-Schwarza.
Wystarczy więc wykazać, że
\left( \frac{a^3+b^3}{2} \right)^2 \ge  \frac{a+b}{2} \frac{a^2+b^2}{2} \frac{a^3+b^3}{2}
A to nie jest problem, bo ze wzoru na sumę sześcianów mamy
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2), więc przenosząc wszystko na jedną stronę:
\frac{a^3+b^3}{2} \cdot  \frac{a+b}{2}\left( \frac 1 2a^2-ab+\frac 1 2 b^2\right) \ge 0
a to już zostawiam jako ćwiczenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 maja 2017, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 1038
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
To jest zadanie z X OM, III etap, zad 1:
http://archom.ptm.org.pl/?q=node/1549
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij że x=... jest dla każdych argumentów a,b,c mni  magik100  2
 działania na liczbach rzeczywistych  Anonymous  1
 Iloczyn sum liczby a i kolejnych liczb nieparzystych  Taschon  1
 świat liczb rzeczywistych  jawor  7
 porównywanie liczb rzeczywistych  Tomo  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl