szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 maja 2017, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 5492
Lokalizacja: Kraków
Udowodnić, że jeśli f jest funkcją ciągła i f (x+2y)= 2f (x ) f(y) gdy x, y \in R to f jest stałą.
Czy istnieje nieciągła f o takiej własności ?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 24 maja 2017, o 14:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10781
Lokalizacja: Wrocław
To zadanie wygląda na mające jakąś niedoróbkę w założeniach. A funkcja stale równa 0 nie spełnia czasem warunków zadania? Jak najbardziej jest ona ciągłą.

-- 24 maja 2017, o 20:51 --

OK, to rozwiązanie pierwszej części zadania:
kładąc y=0, otrzymujemy
(1)f(x)=2f(x)f(0)
natomiast podstawiając x=0, dostajemy
(2) f(2y)=2f(y)f(0)
Widzimy zatem, że jeśli f(x)\equiv 0, to równanie jest spełnione, a w przeciwnym wypadku mamy z (1) f(0)=\frac 1 2
Wstawiając tę zależność do (2), dostajemy f(2y)=f(y) dla każdego y \in \RR.
Skorzystamy teraz z ciągłości f i z własności f(0)=\frac 1 2
Ustalmy dowolne x \in \RR. Mamy
\lim_{n \to  \infty }x\cdot 2^{-n}=0 oraz dla dowolnych m,n \in \NN
jest f(x\cdot 2^{-m})=f(x\cdot 2^{-n})
Z ciągłości f jest \lim_{n \to  \infty }f\left( x\cdot 2^{-n}\right)=\frac 1 2
ale z f(y)=f(2y) mamy, że ciąg
(f(x\cdot 2^{-n})_{n \in \NN} jest ciągiem stałym. Skoro jest on zbieżny do \frac 1 2=f(0), to jest on wobec tego stale równy \frac 1 2, stąd f(x)=\frac 1 2
Podsumowanie tej części zadania: pod warunkiem ciągłości f można pokazać, że jedyne rozwiązania równania to następujące funkcje stałe:
f(x)\equiv 0, f(x)\equiv \frac 1 2
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 warunek spełdnia współrzędne  lampid  1
 Badanie ciągłości funkcji w zbiorze  Peres  1
 Znajdź wszystkie funkcje spełniające warunek.  veldrim  1
 Badanie granicy ciągłości funkcji.  Kalumi  2
 Wyznacz funkcję spełniającą warunek  Christofanow  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl