szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 maja 2017, o 16:56 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Gdańsk, Polska
Co oznacza taki zapis? Rozumiem, że to są zbiory na których działa funkcja F, ale co to za zbiory i co oznacz to L?
F: L( R^n, L(R^n,R) ) \rightarrow L_2(R^n,R)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 maja 2017, o 17:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 406
Lokalizacja: Warszawa
L: odwzorowanie liniowe, L_2: dwuliniowe może. Studiujesz na wydziale fizyki?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 maja 2017, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Gdańsk, Polska
Studiuję matematykę. Czyli L_2 to coś jak iloczyn skalarny, rozumiem. Ale w tym L(R^n, L(R^n, R) ) odwzorowuję R^n na inne odwzorowanie, które z kolei odwzorowuje R^n na R? Czemu nie jest to równoznaczne z L(R^n, R)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2017, o 00:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2355
Lokalizacja: Katowice
Jeżeli przyjrzymy się abstrakcyjnej definicji pochodnej w przestrzeniach unormowanych oraz przypomnimy parę faktów z algebry liniowej, wszystko powinna stać się jasne.

Niech U oraz V będą przestrzeniami unormowanymi, natomiast f\colon U\to V pewną funkcją między tymi przestrzeniami. Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x\in U w sensie Frécheta, jeżeli istnieje taki ograniczony operator liniowy A_x\colon U\to V, dla którego zachodzi:

\lim_{h \to 0} \frac{\|f(x + h) - f(x) - A_x(h)\|_V}{\|h\|_U} = 0.

Jeżeli taki operator istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie i oznacza się go zwyczajowo D_f(x) (tak zwana różniczka). Jeżeli dla każdego punktu x\in U powyższy operator istnieje, mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna (w sensie Frécheta). W takim wypadku możemy określić kolejne odwzorowanie, które każdemu punktowi x\in U przyporządkowuje operator ograniczony D_f(x). Odwzorowanie x\mapsto D_f(x) jest więc odwzorowaniem typu U\to L(U,V), gdzie L oznacza przestrzeń (liniową) wszystkich ciągłych operatorów liniowych U\to V.

W przypadku, gdy funkcja jest typu f\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}, pochodna w powyższym określana jest poprzez odwzorowanie f'\in L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}).

Z początku kłóci się to z klasyczną definicją pochodnej dla funkcji rzeczywistej wielu zmiennych, która występuje jako gradient, a więc element \mathbb{R}^n.

Okazuje się jednak, że każdy operator liniowy \mathbb{R}^n\to\mathbb{R} można utożsamić w naturalny sposób z elementem \mathbb{R}^n. Innymi słowy, przestrzeń sprzężona, tj. przestrzeń wszystkich funkcjonałów* linowych postaci \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}:

\left(\mathbb{R}^n\right)^{*}=L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})=\left\{A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}: A\text{ jest funkcjonałem linowym}\right\}

jest izometrycznie izomorficzna z samą przestrzenią \mathbb{R}^n (czy widzisz, w jaki sposób?)

Zgodnie z powyższym, druga pochodna, która formalnie powinna być odwzorowaniem o wartościach ze zbioru L(\mathbb{R}^n,L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})), na podstawie powyższego izomorfizmu jest utożsamiana w naturalny sposób z przekształceniem linowym L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n), a więc - macierzą n\times n (zauważ, że jest to macierz drugich pochodnych!).

Ale to nie jest koniec. Jeżeli pobawisz się abstrakcyjną definicją pochodnej dla przestrzeni unormowanych U oraz V, zauważysz, że pochodna, formalnie jako odwzorowanie typu L(U,L(U,V)), może zostać utożsamiona (również w naturalny sposób) z formą dwuliniową U\times U\to V (podejrzewam, że to jest właśnie L_2(U,V)). Jak to działa? Niech \varphi\colon U\to L(U,V)\in L(U,L(U,V)). By określić \varphi, należy ustalić wartość tego przekształcenia na argumencie u\in U, którym jest odwzorowanie \psi_u\in L(U,V):

\varphi(u)=\psi_u.

Powyższa równość jest interpretowana jako równość dwóch funkcji. Dwie funkcje są równe, jeżeli zgadzają się na każdym argumencie, tj.

\varphi(u)(x)=\psi_u(x) dla każdego x\in U.

Możemy więc utożsamić \varphi(u)(x) z formą dwuliniową \varphi(u,x), której przyporządkowana jest wartość \psi_u(x). W tej sytuacji \varphi można rozumieć jako \varphi\colon U\times U\to V, czyli \varphi\in L_2(U,V).

I to tyle. Na koniec zobrazujmy to przykładem. Niech f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R} będzie funkcją określoną wzorem f(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2). Dla każdego punktu (x,y)\in\mathbb{R}^2 szukamy takiego operatora liniowego D_f(x,y)\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} o własności:

\frac{1}{\|(h_1,h_2)\|}\left(f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-D_{f}(x,y)(h_1,h_2)\right)\to 0 dla \|(h_1,h_2)\|\to 0.

Znając pochodne cząstkowe f, mianowicie \left[\frac{df}{dx},\frac{df}{dy}\right]=[x,y], możemy już teraz przewidzieć postać operatora D_f(x,y):

D_f(x,y)(h_1,h_2)=[x,y]\cdot[h_1,h_2]=xh_1+yh_2

i, przy paru dodatkowych rachunkach, przekonać się, że powyższa granica istotnie wynosi 0. Zatem każdemu punktowi (x,y)\in\mathbb{R}^2 przyporządkowaliśmy za pomocą pewnego odwzorowania \Phi\colon \mathbb{R}^2\to L(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}) operator D_f(x,y)\in L(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}) zgodnie z poniższą formułą:

\Phi(x,y)(h_1,h_2)=D_f(x,y)(h_1,h_2)=[x,y]\cdot [h_1,h_2]=xh_1+yh_2 dla każdego (h_1,h_2)\in\mathbb{R}^2.

To samo odwzorowanie możemy utożsamić z przekształceniem dwulinowym \Phi\colon\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\in L_2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}):

\Phi((x,y),(h_1,h_2))=xh_1+yh_2.

* - w przestrzeniach skończenie wymiarowych każdy operator liniowy jest ciągły (ograniczony).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2017, o 08:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 406
Lokalizacja: Warszawa
Elementami prawej strony są funkcje \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R, natomiast lewej strony: funkcje \mathbb R^n \to  \left( \mathbb R^n \to \mathbb R \right). Nie widzę sensu wprowadzania tu pochodnych...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2017, o 10:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2355
Lokalizacja: Katowice
Pochodne wyższych rzędów (bądź ogólniej, między przestrzeniami unormowanymi) są naturalnymi przykładami operatorów podanej postaci*. Na ich podstawie można zobaczyć, jak one "działają".
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 maja 2017, o 12:14 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Gdańsk, Polska
JakimPL początek i koniec rozumiem i mniej więcej ogólnie też, tylko środek średnio. Izometryczny izomorfizm to jest izomorfizm zachowujący odległości między punktami, tak?
Mam do tego taką funkcję F(A)[u,v]=(Au)v i staram się zrozumieć co ona robi. Czyli F bierze wektory u i v oraz wartość odwzorowania A dla u i v. Po prawej nie rozumiem tego zapisu, czemu Au jest w nawiasie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2017, o 12:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 406
Lokalizacja: Warszawa
Au jest w nawiasie, ponieważ po prawej stronie mnożysz wektor Au przez v skalarnie. Bez nawiasu można pomyśleć, że liczysz wartość A w punkcie uv, co może mieć sens lub nie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2017, o 12:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2355
Lokalizacja: Katowice
slimakslimak napisał(a):
Izometryczny izomorfizm to jest izomorfizm zachowujący odległości między punktami, tak?


Tak, chodzi głównie o sam izomorfizm; możemy utożsamić przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych typu \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, czyli przestrzeń L(\mathbb{R}^n,R) z samym \mathbb{R}^n.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 co oznacza taki zapis?  Mortify  3
 Co oznacza taki zapis? - zadanie 3  matfka  1
 Co oznacza taki zapis? - zadanie 2  Drevis  10
 Pytanie o zapis funkcji - zadanie 2  asics43  2
 Zapis injekcji  zdzicho0  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl