szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 maja 2017, o 17:34 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
W pewnej miejscowości temperatura T (w stopniach Celsjusza) mierzona w dniu 1 marca o godzinie 8 jest zmienną losową o gęstości :

f(t)= \frac{1}{2}e ^{-|t| }


Wyznaczyć jej dystrybuantę oraz obliczyć:
P(|T|<2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 maja 2017, o 18:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13137
Lokalizacja: Wrocław
Dystrybuanta (gdy rozkład ma gęstość) to po prostu całka z gęstości:
F_T(x)= \int_{-\infty}^{x}f(t)\,\dd t= \int_{-\infty}^{x}\frac 1 2 e^{-|t|} \,\dd t
natomiast \mathbf{P}(T \le 2)=F_T(2)
A tamtą całkę możesz policzyć, np. rozbijając na przypadki:
x \le 0, x>0 i korzystając z tego, że
|t|= \begin{cases} -t \text{ dla }t \le 0 \\ t \text{ dla }t>0 \end{cases}

-- 27 maja 2017, o 19:32 --

Aha, no i oczywiście nie zauważyłem tego modułu, to tak:
\mathbf{P}(|T|<2)=\mathbf{P}(-2<T<2)= \int_{-2}^{2} f(t)\,\dd t
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2018, o 12:35 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Warszawa
Również mam kłopot z tym zadaniem. Dystrybuantę liczę tak:
f(t)=\frac12e^{-|t|} \text{ dla }-\infty<x<\infty\\
F_T(t)=\int^t_{-\infty}\frac12 e^{-|x|}dx\\
=\frac12\int^t_{-\infty}e^{-|x|}dx\\
=\frac12\bigg(\int_{-\infty}^0 e^{-(-x)}+\int_0^\infty e^{-x} dx\bigg)\\
=\frac12\bigg(\lim_{t_1\to-\infty}\int_{t_1}^0 e^x+\lim_{t_2\to\infty}\int_0^{t_2}e^{-x} dx\bigg)\\
=\frac12\bigg(\lim_{t_1\to-\infty} [ e^x]_{t_1}^0+\lim_{t_2\to\infty} [e^{-x}  ]_0^{t_2}\bigg)\\
=\frac12\bigg(1-\lim_{t_1\to-\infty}e^{t_1}-\lim_{t_2\to\infty}e^{-t_2}+1\bigg)\\
=\frac12(1-0+1-0)\\
=\frac12 \cdot2\\
=1
Zatem dystrybuanta to F_T(t)=1 ? Jeśli tak, to czy
P(|T|<2)=P(-2<T<2)=F(2)-F(-2)=1-1=0\text{ ?}
Skoro tak to wynik dla prawdopodobieństwa policzonego z gęstości chyba powinien być taki sam a u mnie wychodzi odpowiednio
P(|T|<2)\\=P(-2<T<2)\\=\frac12\int^2_{-2}e^{-|x|}dx\\
=\frac12\bigg([e^x]_{-2}^0+[-e^{-x}]_{0}^2\bigg)\\
=\frac12(e^0-e^{-2}-e^{-2}+e^0)\\
=\frac12(2-2e^{-2})\\
=1-e^{-2}\\
=1-\frac1{e^2}
Sam już nie wiem czy gdzieś popełniłem błąd czy nie, proszę o wskazówki. Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2018, o 08:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 277
Nie wychodzi dlatego, że policzyłeś tak naprawdę całkę z gęstości prawdopodobieństwa po zbiorze \mathbb{R}. Wtedy nic dziwnego, że wychodzi 1 (wynika to z definicji gęstości). Dystrybuanta jest z kolei postaci F(x)=P(X<x)=\int_{-\infty}^xf(t)\mbox{d}t.

Cytuj:
\frac12\bigg(\int_{-\infty}^0 e^{-(-x)}+\int_0^\infty e^{-x} dx\bigg)\\


Na przykład to powyższe jest bez sensu, bo to całka po zbiorze liczb rzeczywistych po prostu.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznaczyc dystrybuante  krzysiek12345  1
 wyznaczyć dystrybuantę  mmarry  1
 Wyznaczyć dystrybuantę - zadanie 11  Majeskas  11
 wyznaczyć dystrybuantę - zadanie 2  mmarry  1
 Wyznaczyć dystrybuantę - zadanie 13  Pilaf  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl