szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 maja 2017, o 15:53 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
Witam
Mam problem z rozwiązaniem równania rekurencyjnego a_{n} = 3 a_{n-1} - 2a_{n-1} gdzie
a_0 =-1 , a_1 = 1 i tutaj się zaczyna problem. Równanie charakterystyczne ma postać x-1=0 i jak wezmę a_0 = -1 to rozwiązaniem tej rekurencji jest (-1)^{n}
co nie pasuje dla a_1. Mógłby ktoś mi pomóc z tym zadaniem ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 maja 2017, o 17:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2369
Lokalizacja: Katowice
Wygląda mi to na literówkę; z warunków początkowych wnioskuję, że równanie jest drugiego rzędu:

a_{n} = 3 a_{n-1} - 2a_{n-2}

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 maja 2017, o 17:27 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
Może i to literówka to jest zadanie przygotowawcze do kolokwium, to oznacza że wykładowca się niestety pomylił. Mam jeszcze jedno równanie z którym mam problem a_n = a_{n-1}+2a_{n-2} + 2^n
gdzie a_0 = 3 , a_1=-1 i tutaj 2 jest rozwiązaniem części jednorodnej a_n=C_1*2^n + C_2*(-1)^n,i, f(n)=2^n i wyczytałem gdzieś, że wtedy funkcja tworząca ma rozwiązanie postaci a_n = n^kA \beta ^n gdzie k to krotność pierwiastka a \beta =2 i nie bardzo mogę to rozwiązać wiem że rozwiązaniem będzie a_n=C_1*2^n+C_2*(-1)^n + f(n) i dalej nie wiem co zrobić
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 maja 2017, o 18:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2369
Lokalizacja: Katowice
Przewidujemy rozwiązanie szczególne jako a_n=A n 2^n (bo krotność pierwiastka 2 wynosi 1). Podstawiając to rozwiązanie szczególne:

A n 2^n = A (n-1) 2^{n-1}+2 A (n-2)2^{n-2}+2^n

Wyłączając najmniejszą potęgę 2^{n-2} z całości, uzyskujemy:

4 A n 2^{n-2} = 2 \cdot A (n-1) 2^{n-2} + 2 \cdot A(n-2)2^{n-2} + 4 \cdot 2^{n-2}

możemy podzielić stronami przez 2^{n-2}:

4 A n = 2 A (n-1) + 2 A(n-2) + 4

Upraszczając:

4 A n = 2 A n - 2 A + 2 A n -4 A +4

Składniki z A n się uproszczą, pozostaje:

A = \frac{2}{3}.

Ponieważ rozwiązanie jest sumą rozwiązania ogólnego i szczególnego:

a_n = \frac{1}{3} \left(7\cdot (-1)^n+2 \cdot 2^{n}\right) + \frac{2}{3} \cdot n \, 2^n

Istnieje ogólniejsza metoda rozwiązywania tego typu równania, ale jest żmudna (a'la uzmiennianie stałej w równaniach różniczkowych).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 maja 2017, o 18:17 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
Dzięki ! Już rozumiem ;)

-- 31 maja 2017, o 21:09 --

JakimPL napisał(a):
Przewidujemy rozwiązanie szczególne jako a_n=A n 2^n (bo krotność pierwiastka 2 wynosi 1). Podstawiając to rozwiązanie szczególne:

A n 2^n = A (n-1) 2^{n-1}+2 A (n-2)2^{n-2}+2^n

Wyłączając najmniejszą potęgę 2^{n-2} z całości, uzyskujemy:

4 A n 2^{n-2} = 2 \cdot A (n-1) 2^{n-2} + 2 \cdot A(n-2)2^{n-2} + 4 \cdot 2^{n-2}

możemy podzielić stronami przez 2^{n-2}:

4 A n = 2 A (n-1) + 2 A(n-2) + 4

Upraszczając:

4 A n = 2 A n - 2 A + 2 A n -4 A +4

Składniki z A n się uproszczą, pozostaje:

A = \frac{2}{3}.

Ponieważ rozwiązanie jest sumą rozwiązania ogólnego i szczególnego:

a_n = \frac{1}{3} \left(7\cdot (-1)^n+2 \cdot 2^{n}\right) + \frac{2}{3} \cdot n \, 2^n

Istnieje ogólniejsza metoda rozwiązywania tego typu równania, ale jest żmudna (a'la uzmiennianie stałej w równaniach różniczkowych).

Czy jest to aby na pewno dobre rozwiązanie?
jeżeli wstawie a_1 to nie rowna sie to z warunakmi poczatkowymi gdzie a_1=-1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2017, o 00:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6604
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Funkcje tworzące (geometryczna tzw zwykła i wykładnicza)
są wygodniejsze
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2017, o 10:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2369
Lokalizacja: Katowice
Och, racja, wstawiłem stare współczynniki c_1, c_2; po wyznaczeniu postaci równania

a_n = c_1 (-1)^n+c_2 2^{n}\right) + \frac{2}{3} \cdot n \, 2^n

należy podstawić n=0,1 i wyznaczyć odpowiadające temu ogólnemu rozwiązaniu współczynniki c_1=\tfrac{25}{9}, c_2=\tfrac\frac{2}{9}, powinno się zgadzać.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązanie rekurencji - zadanie 2  pawel112  2
 rozwiązanie rekurencji  rozprzedstud  2
 Czy istnieje rozwiązanie równania oraz ilość funkji  Arytmetyk  2
 Rozwiązanie rekurencji metodą anihilatorów  Max1414  4
 Rozwiązanie ogólne i szczególne równania rekurencyjnego.  Aegon  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl