szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2017, o 22:39 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Witam. Borykam się z problemem wyliczenia stałej C w rozwiązaniu szczególnym równania rekurencyjnego niejednorodnego w przypadku gdy :

Jeżeli f(n) = A \alpha ^n i \alpha jest pierwiastkiem k \ge 1 krotnym równania charakterystycznego jednorodnego stowarzyszonego z równaniem niejednorodnym to x^{(2)}_{n}=Bn^k \alpha ^n.

Przykład takiego równania to : a_n=6_{n-1}+16_{n-2}+2 \cdot 8^n

Wielomian charakterystyczny ma wtedy postać : f(x)=x^2-6x-16

Miejsca zerowe to : x_1=-2 i x_2=8

Rozwiązanie ogólne rekurencji jednorodnej ma postać : x^{(1)}_{n}=A  \cdot  (-2)^n + B  \cdot  8^n

Przewiduję rozwiązanie szczególne : x^{(2)}_{n}= C  \cdot  8^n

I tutaj zaczynają się dla mnie schodki :lol: Po podstawieniu standardowo rozwiązania szczególnego do a_n i uproszczeniu, C wychodzi pomnożone przez 0 i staję w miejscu : C  \cdot  0 = 2

Z reguły podanej wyżej x^{(2)}_{n}=Bn^k \alpha ^n
wynika, że muszę pomnożyć rozwiązanie szczególne przez n.

Na dyskretnej niestety takiego przykładu nie przerobiliśmy, grzebię już 2 dni i nie znalazłem analogicznego przykładu niestety.

Gdyby znalazł się ktoś kto może mi to wyjaśnić byłbym niezmiernie wdzięczny :(
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2017, o 07:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6127
krzysiekg199 napisał(a):
Przykład takiego równania to : a_n=6_{n-1}+16_{n-2}+2 \cdot 8^n
a_n=6a_{n-1}+16a_{n-2}+2 \cdot 8^n
krzysiekg199 napisał(a):
Rozwiązanie ogólne rekurencji jednorodnej ma postać : x^{(1)}_{n}=A  \cdot  (-2)^n + B  \cdot  8^n

Przewiduję rozwiązanie szczególne : x^{(2)}_{n}= C  \cdot  8^n

I tutaj zaczynają się dla mnie schodki :lol: Po podstawieniu standardowo rozwiązania szczególnego do a_n i uproszczeniu, C wychodzi pomnożone przez 0 i staję w miejscu : C  \cdot  0 = 2

Z reguły podanej wyżej x^{(2)}_{n}=Bn^k \alpha ^n
wynika, że muszę pomnożyć rozwiązanie szczególne przez n.

Na przewidywanie, podobnie jak w metodzie przewidywania w równaniach różniczkowych, wpływa rozwiązanie ogólne. Jeżeli to co przewidujesz dubluje składnik/i rozwiązania ogólnego to przewidywanie musisz wzmocnić przez jego pomnożenie przez taką potęgę n aby powielanie nie zachodziło (lub skorzystać z podanej regułki).
Tu przewidujesz: x^{(2)}_{n}= C  \cdot n \cdot  8^n
Wstawiasz:
Cn8^n=6C(n-1)8^{n-1}+16C(n-2)8^{n-2}+2 \cdot 8^n\\
Cn8^2=6C(n-1)8^{1}+16C(n-2)+2 \cdot 8^2\\
4Cn=3C(n-1)+C(n-2)+2 \cdot 4\\
4Cn=3Cn-3C+CN-2C+8\\
5C=8\\
C= \frac{8}{5}

PS
Gdyby rozwiązanie ogólne rekurencji jednorodnej miało postać : x^{(1)}_{n}=A  \cdot  8^n + B \cdot n \cdot  8^n, to przewidujesz rozwiązanie szczególne : x^{(2)}_{n}= C  \cdot n^2\cdot 8^n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2017, o 17:01 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
no przecież !! dziękuje za perfekcyjne wyjaśnienie :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie rekurencyjne liniowe niejednorodne  freeze2  1
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 równanie - zadanie 4  fishman4  2
 Rozwiąż równanie z silnią  kuzio87  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl