szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 cze 2017, o 01:20 
Użytkownik

Posty: 47
Lokalizacja: Kraków
Witajcie,
Chciałam prosić o pomoc z następującym zadaniem:

1. Wykaż że jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 4 to:
a)\ 10 \mbox{ dzieli } 2^{2n}+2^3  \cdot  2^n +2^4 \\
b)\ 100 \mbox{ dzieli } 4^n +2^{n+3} + 4^2 \\
c)\ 100 \mbox{ dzieli } 9^n + 2  \cdot  3^{n+2} + 81

Podstawiając n=4k, doszłam w a i b do momentu (16^k + 4)^2 , a w podpunkcie c (81^k+9)^2
i gdzieś znalazłam podobne dowody ale z indukcją a muszę to zrobić bez.

To jest zadanie z pierwszej klasy liceum.

Z góry dziękuję
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 18 cze 2017, o 02:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10579
Lokalizacja: Wrocław
To skoro już otrzymałaś takie postaci, to wystarczy popatrzeć uważnie.
Zarówno liczba (16^k+4)^2, jak i (81^k+9)^2 są podzielne przez cztery:
pierwsza jako kwadrat sumy dwóch liczb parzystych (czyli kwadrat liczby parzystej), a druga jako kwadrat sumy dwóch liczb nieparzystych (czyli znów kwadrat liczby parzystej).
Ponadto liczba 16 daje resztę 1 z dzielenia przez 5, więc też i 16^k daje resztę 1 z dzielenia przez 5 dla k \in \NN^+: można to uzasadnić ze wzoru dwumianowego Newtona, rozpisując 16^k=(15+1)^k i zauważając, że wszystkie składniki rozwinięcia oprócz ostatniego będą podzielne przez 5
Zatem 16^k+4 dzieli się przez 5, bo możemy zapisać 16^k=5m+1 dla pewnego m \in \NN (w zależności od k), a wówczas 16^k+4=5m+5=5(m+1)
A zatem 5 dzieli 16^k+4, czyli 25=5^2 dzieli liczbę (16^k+4)^2
Ponieważ 4\cdot 25=100 i \NWD(4,25)=1, więc z podzielności przez 4 i 25 wynika podzielność przez 100, a więc i przez 10.
Czyli dla dowolnego n \in \NN^+ liczba (16^k+4)^2, gdzie 4k=n, dzieli się przez 100 oraz, co z tego wynika, przez 10.
Analogicznie 81 daje resztę 1 z dzielenia przez 5, więc też 81^k daje resztę 1 z dzielenia przez 5, zatem dla każdego k \in \NN^+ istnieje takie l \in \NN^+, że 81^k=5l+1
a wówczas 81^k+9=5l+10=5(l+2) co jest w oczywisty sposób podzielne przez 5
Zatem kwadrat tej liczby dzieli się przez 5^2=25
I znów podzielność przez 4 w połączeniu z podzielnością przez25 daje nam podzielność przez 100.

Jednak najwygodniej i najszybciej robi się to zadanie z kongruencji, tylko nie wiem, czy są wprowadzane w liceum (u mnie nie było, w niektórych szkołach za to owszem) - w programie niby ich nie ma.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 cze 2017, o 02:38 
Użytkownik

Posty: 47
Lokalizacja: Kraków
Nie, kongruencji nie było.

Dziękuję za pomoc.
Widziałam tą podzielność ale nie umiałam tego uzasadnić tak dokładnie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielność n przez 4  kieubass  8
 Podzielność wielomianów - zadanie 8  ?yrafa  2
 Podzielność liczb - zadanie 47  matfiz12  8
 Wykaż że podzielna przez 29 - zadanie 2  motoon92  3
 Udowodnij następujące twierdzenie  PatrykG  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl