szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 cze 2017, o 02:26 
Użytkownik

Posty: 47
Lokalizacja: Kraków
. Wykaż że
\bigwedge _{a,b,c,d   \in \RR^+}\frac{a^2}{b} + \frac{c^2}{d}  \ge  \frac{(a+c)^2}{b+d}
próbowałam to przenosić , sprowadzać do wspólnego mianownika ale do niczego to nie
doprowadziło.

Z góry dziękuję
Jest to zadanie z pierwszek klasy liceum
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 cze 2017, o 03:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10286
Lokalizacja: Wrocław
Przedstawię trzy propozycje:
1) jest to bezpośrednia konsekwencja nierówności Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela.

2) mnożymy stronami przez b+d i mamy równoważną nierówność:
\frac{d}{b}a^2+ \frac{b}{d}c^2+a^2+c^2 \ge (a+c)^2
Teraz zauważmy, że z nierówności między średnimi dla dwóch składników jest
\frac{\frac{d}{b}a^2+ \frac{b}{d}c^2}{2} \ge  \sqrt{\frac{d}{b}a^2 \cdot \frac{b}{d}c^2 }=ac
czyli \frac{d}{b}a^2+ \frac{b}{d}c^2\ge 2ac a więc
\frac{d}{b}a^2+ \frac{b}{d}c^2+a^2+c^2 \ge 2ac+a^2+c^2=(a+c)^2
co kończy dowód.

3)
wymnażamy na pałę przez iloczyn mianowników, co daje
a^2d(b+d)+c^2b(b+d) \ge bd(a+c)^2\\a^2 d^2+a^2 bd+c^2 b^2+c^2 bd \ge bda^2+bdc^2+2abcd
przenosimy na jedną stronę, redukujemy co się da i zwijamy ze wzorów skróconego mnożenia:
(ad-bc)^2 \ge 0
co jest oczywiste.
Przekształcenia były równoważne, zatem dowód można uznać za zakończony.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 cze 2017, o 03:30 
Użytkownik

Posty: 47
Lokalizacja: Kraków
Baardzo dziękuję.
Robiłam 3 sposobem ale nie mogłam tego zwinąć... szuakałam błędu ale nie widziałam a był, zamieniłam sobie literki i nie chciało wyjść.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż prawdziwość nierówności - zadanie 9  Arst  24
 wykaz prawdziwość nierówności  piterr1910  3
 Wykaż prawdziwość nierówności - zadanie 14  poetaopole  5
 Wykaż prawdziwość nierówności - zadanie 6  fiolek  5
 wykaż prawdziwość nierówności - zadanie 11  asia1  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl