szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2017, o 07:54 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: ola
Witam. Jak to wykazć
Niech f \left( x \right) =x- \ln x-a , a>1 , f \left( x \right) =0 ma dwa pierwiastki x_1,x_2.
Pokaz że dwie nierówności
x_1+x_2<a+\frac{a-1}{\ln a}
oraz
x_1x_2<\frac{\ln a}{a-1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2017, o 12:40 
Użytkownik

Posty: 2043
Lokalizacja: Warszawa
Policz ekstrema - jest jedno minimum i zażądaj, żeby to minimum było mniejsze od zera.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2017, o 15:37 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: ola
Nie rozumiem? Chodzi o to zeby f(1)<0 ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2017, o 16:55 
Użytkownik

Posty: 2043
Lokalizacja: Warszawa
Policz pochodną, znajdź jej miejsca zerowe itd. przy okazji zbadaj monotoniczność funkcji. Zobaczysz, że funkcja ma minimum w x _{\min } =1. Teraz zażądaj, żeby f(x _{\min })<0 Na tej podstawie wyznaczysz wartość parametru a.

:)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 cze 2017, o 17:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10810
Lokalizacja: Wrocław
Dilectus, na tej podstawie nic nie wyznaczysz :!:

-- 19 cze 2017, o 18:39 --

f(1)<0 mamy z treści zadania za darmo, bo a>1.
W rozwiązaniu może się za to przydać to, że jeden pierwiastek jest w przedziale (0,1), a drugi w przedziale (1,\infty)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 cze 2017, o 07:54 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: ola
Niestety nadal nie wiem jak to wykonać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2017, o 23:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2959
Lokalizacja: blisko
A próbował ktoś metodą przybliżonych pierwiastków równań?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2017, o 12:39 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: ola
A mozesz pokazać jak to wykonoać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2017, o 16:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2959
Lokalizacja: blisko
nie siadłem jeszcze do tego to tylko taka myśl jaka mi przyszła może i niewiąrząca
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2017, o 12:25 
Użytkownik

Posty: 349
Lokalizacja: Polska
f \left( x \right) =x- \ln x-a , a>1 , f \left( x \right) =0
e^{f\left( x \right)} = e^{x- \ln x-a}
e^{f\left( x \right)} = e^x e^{- \ln x} e^{-a}
Miejsca zerowe:
1 = -x e^x e^{-a}
-e^{a-x} = x
-\frac{e^a}{e^x} = x

Podstawiając tam, gdzie jest x_1+x_2 i mnożąc przez -1:

\frac{e^a}{e^{x_1}} + \frac{e^a}{e^{x_2}} > \frac{1-a}{\ln a} - a
e^{-x_1}+e^{-x_2} > \frac{1-a-a \ln a}{e^a \ln a} = \frac{1-a(1 + \ln a)}{e^a \ln a}
Ta nierówność jest, mam nadzieję, oczywista :V

No i do x_1x_2 mamy:
\frac{e^{2a}}{e^{x_1+x_2}} < \frac {\ln a}{a-1}
1 < \frac{\ln a e^{x_1+x_2}}{e^{2a} (a-1)}
I do tej nierówności nie mam pomysłu, ale mam nadzieję, że choć trochę pomogłem i popróbujesz teraz :V
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 24 cze 2017, o 12:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10810
Lokalizacja: Wrocław
PoweredDragon, jest źle, wyszło Ci, że miejsca zerowe funkcji
f(x) muszą spełniać zależność
-\frac{e^a}{e^x} = x
ale to prowadzi do wniosku, że x jest ujemne, czyli nie należy do dziedziny funkcji f.
Błędem jest zastosowanie jakże ciekawej i inspirującej "tożsamości" e^{-\ln x}=-x
Tymczasem w istocie e^{-\ln x}=\frac 1 x, \ x>0
Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2017, o 14:07 
Użytkownik

Posty: 349
Lokalizacja: Polska
Ah mój błąd xd w istocie jest to \frac{1}{x}, a to zmienia postać rzeczy, bo wówczas

x=e^{x-a} i to już jest problematyczne :V Tak coś czułem, że poszło za łatwo
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl