szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 cze 2017, o 20:43 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Łódź
Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona znajdź zwartą postać sumy:
\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k}  2^{k}

Nie bardzo rozumiem tę metodę rozwiązywania...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 cze 2017, o 21:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1498
Lokalizacja: hrubielowo
Ogólniej można zapisać że

\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k=(1+x)^n

Całkując powyższą równość mamy

\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} x^{k+1}= \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}+C

Stałą C wyznaczyć można podstawiając x=0 wtedy prawa strona zeruje się.

0=\frac{1}{n+1} +C

Więc \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} x^{k+1}= \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}-\frac{1}{n+1}

Dzieląc przez x

\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} x^{k}= \frac{(1+x)^{n+1}-1}{x(n+1)}

kładąc x=2

\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} 2^{k}= \frac{3^{n+1}-1}{2(n+1)}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 cze 2017, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Łódź
Super, dzięki wielkie :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zwarta postac sumy - zadanie 10  Gofer33  2
 Zwarta postać sumy - zadanie 12  splinter  1
 zwarta postać sumy - zadanie 2  SzalonyMjut  1
 Zwarta postac sumy - zadanie 8  timus221  18
 Zwarta postać sumy - zadanie 4  artmat  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl