szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2017, o 19:21 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Poznań
"Wyprowadź równanie prostej w przestrzeni" - od czego mam zacząć?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 21 cze 2017, o 21:58 
Użytkownik

Posty: 3159
Istnieje kilka równań prostej w przestrzeni.

Położenie prostej l jest określone jednoznacznie gdy dany jest jej punkt P_{0}= (x_{0},y_{0}, z_{0}) i wektor \vec{k} = [a,b,c ] równoległy do niej. Wektor \vec{k} nazywamy wektorem kierunkowym prostej l.

Jeżeli P = (x,y, z) jest dowolnym punktem prostej, to wektor \vec{PP_{0}} jest równoległy do prostej a więc i równoległy do wektora \vec{k}.

Z warunku równoległości wektorów otrzymujemy

\vec{PP_{0}} = t\cdot \vec{k}, \ \ t\in \set{R}.

Podstawiając \vec{PP_{0}} = [x - x_{0}, y-y_{0}, z - z_{0}] = t\cdot [a, b, c]

otrzymujemy

[x - x_{0}, y-y_{0}, z - z_{0}] =  [ta, tb, tc]

Porównując współrzędne otrzymujemy równanie parametryczne charakteryzujące prostą

l: \left\{\begin{matrix} x = x_{0} +at, \\  y = y_{0} + bt, \\ z = z_{0} + ct \end{matrix}\right. (1)

Równania (1) możemy przekształcić do postaci

\left\{\begin{matrix} \frac{x- x_{0}}{a}= t, \\ \frac{y - y_{0}}{b}= t, \\ \frac{z - z_{0}}{c}=t \end{matrix}\right.

Skąd otrzymujemy

l:  \frac{x- x_{0}}{a}= \frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}. (2)

Równanie (2) nazywamy równaniem kierunkowym prostej albo równaniem w postaci podwójnej proporcji.

W zagadnieniach praktycznych prosta często pojawia się jako część wspólna (krawędź przecięcia się) dwóch płaszczyzn nierównoległych.

Jeżeli tymi płaszczyznami są

\pi_{1}: A_{1}x +B_{1}y + C_{1}z + D_{1}=0, \ \ \pi_{2}: A_{2}x +B_{2}y + C_{2}z + D_{2}=0 to prostą zapisujemy w postaci

l: \left\{ \begin{matrix}A_{1}x +B_{1}y + C_{1}z + D_{1}=0 \\   A_{2}x +B_{2}y + C_{2}z + D_{2}=0. \end{matrix} \right.

Mówimy, że prosta jest w postaci krawędziowej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2017, o 00:01 
Użytkownik

Posty: 15103
Lokalizacja: Bydgoszcz
Uwaga do częsci pierwszej: ponieważ wektor zerowy jest równoległy do każdego innego, nalezy zalożyć, że \vec{k}\neq\vec{0}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prosta w przestrzeni - zadanie 2  Olka97  1
 prosta w przestrzeni  Saladyn  0
 prosta styczna do okręgu i drugiej prostej  akrola  3
 Parametry (prosta rownolegla i rozlaczna z okregiem)  gosia1516  3
 Prosta w R^3  infeq  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl