szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2017, o 19:11 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Łódź
a _{0}=3,a _{1}=10, a_{2}=11 , a _{n}=a_{n-1}+4a_{n-2}-4a_{n-3}-3

Obliczam równanie charakterystyczne, wyliczam pierwiastki r_{1}=1,r_{2}=2,r_{3}=-2
Ale jak wygląda ogólna postać ciągu? Po prostu a_{n}=A+B2 ^{n}+C(-2)^{n}?
Ta -3 w rekurencji przysparza mi problemów. Bo w końcu -3=-3 \cdot (1)^{n}, czyli podstawa potęgi jest równa jednemu pierwiastkowi charakterystycznemu... Co dalej?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2017, o 20:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
Ta rekurencja nie jest liniowa, właśnie przez to -3, więc postać rozwiązania ogólnego nie będzie dokładnie taka jak napisałeś. Można to rozwiązać z użyciem funkcji tworzących lub metody przewidywania, za którą nie przepadam, ale która często się pojawia, a tu akurat jest łatwa do zastosowania. Metodą przewidywania znajdujesz rozwiązanie szczególne tej rekurencji, a rozwiązanie ogólne to będzie suma tego rozwiązania szczególnego i rozwiązania rekurencji jednorodnej
a _{n}=a_{n-1}+4a_{n-2}-4a_{n-3}
Tutaj można przewidzieć rozwiązanie szczególne w postaci x_n=c\cdot n gdzie c to stała. Po podstawieniu do zależności
a _{n}=a_{n-1}+4a_{n-2}-4a_{n-3}-3 za a_n=x_n mamy:
c n=c(n-1)+4c(n-2)-4c(n-3)-3
czyli
3c-3=0,
a więc c=1, czyli rozwiązanie szczególne rekurencji niejednorodnej jest postaci
x_n=n
Natomiast rozwiązanie ogólne rekurencji jednorodnej
a _{n}=a_{n-1}+4a_{n-2}-4a_{n-3}
ma postać
A+B\cdot 2^n+C\cdot (-2)^n
Zatem rozwiązanie ogólne rekurencji niejednorodnej:
a_n=A+B\cdot 2^n+C\cdot (-2)^n+x_n=A+B\cdot 2^n+C\cdot (-2)^n+n
Teraz podstawiasz dane warunki początkowe i masz układ równań:
\begin{cases} a_0=A+B\cdot 2^0+C\cdot (-2)^0+0\\a_1=A+B\cdot 2^1+C\cdot (-2)^1+1 \\ a_2=A+B\cdot 2^2+C\cdot (-2)^2+2\end{cases}
rozwiązujesz ten układ równań ze względu na A, B, C
i koniec.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2017, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Łódź
Ciekawe rozwiązanie, aczkolwiek metoda funkcji tworzących jest tu odgórnie narzucona...
Mógłbyś mi przybliżyc rozwiązanie za jej pomocą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2017, o 20:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
Z użyciem funkcji tworzących to byłoby tak:
a _{n}=a_{n-1}+4a_{n-2}-4a_{n-3}-3\\a_{n+3}=a_{n+2}+4a_{n+1}-4a_n-3\\ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+3} z^n= \sum_{n=0}^{ \infty }\left( a_{n+2}+4a_{n+1}-4a_n-3\right) z^n\\ \frac{1}{z^3} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+3}z^{n+3}= \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}z^{n+2}+ \frac{4}{z}  \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}z^{n+1}-4 \sum_{n=0}^{ \infty }a_n z^n -3 \sum_{n=0}^{ \infty }z^n\\ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+3}z^{n+3}=z \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}z^{n+2}+4z^2  \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}z^{n+1}-4 z^3\sum_{n=0}^{ \infty }a_n z^n -3z^3 \sum_{n=0}^{ \infty }z^n
Niech teraz G(z)=\sum_{n=0}^{ \infty }a_n z^n
Wówczas mamy
\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+3}z^{n+3}=G(z)-a_0-a_1 z-a_2 z^2\\\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}z^{n+2}=G(z)-a_0-a_1 z\\\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}z^{n+1}=G(z)-a_0
Ponadto oczywiście mamy
\sum_{n=0}^{ \infty }z^n=\frac{1}{1-z}
Zatem:
G(z)-a_0-a_1 z-a_2 z^2=z\left(G(z)-a_0-a_1 z \right) +4z^2\left( G(z)-a_0\right)-4z^3G(z) - \frac{3z^3}{1-z}
Wyliczasz z tego G(z), traktując to jak równanie z niewiadomą G(z), podstawiasz z danych
a _{0}=3,a _{1}=10, a_{2}=11
no a potem wykonujesz rozkład na ułamki proste: 298450.htm
i rozwijasz te ułamki w szeregi potęgowe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2017, o 20:40 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Łódź
Wspaniale, dziękuję bardzo
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2017, o 18:06 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
Jest dużo prostszy sposób. Od wyrazu a _{n+1} odejmujesz wyraz a _{n}.
-3 się redukuje i masz normalną liniową rekurencję, którą możesz rozwiązać poprzez zwykłe podstawienie a _{n}  = r ^{n}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Grafy; tablica n na n; n osób w kolejce; rekurencja.  kswiss  6
 rekurencja, zliczanie ciągów  kolegasafeta  4
 indukcja i rekurencja - zadanie 2  paulina95  6
 Rekurencja odgadnięcie wzoru  tupek2  1
 rekurencja liniowa niejednorodna  MikolajB  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl