szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Online
PostNapisane: 24 cze 2017, o 23:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 917
Lokalizacja: Jasło/Kraków
W jaki sposób pokazać, iż \mathbb{R}^n homeomorficzne z \mathbb{R}^m wtedy i tylko wtedy gdy n=m. Z prawej w lewo to oczywiste w drugą stronę już nie za bardzo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2017, o 23:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18084
Lokalizacja: Cieszyn
Nie mam gotowej odpowiedzi, ale wiem dlaczego prosta nie jest homeomorficzna z płaszczyzną. Jeśli z prostej usuniemy punkt, to powstała podprzestrzeń jest niespójna. Jeśli usunąć punkt z płaszczyzny, to powstała podprzestrzeń pozostanie spójna. A obraz ciągły przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną.

Podobnie wycięcie okręgu z płaszczyzny rozspaja ją, zaś z przestrzeni \RR^{n+2} nie.

Spróbuj pokombinować w tym kierunku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 00:14 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Gliwice
szw1710, sugeruje tutaj użycie wyższych grup homotopii dla przestrzeni \mathbb R^n\setminus \{P\}, gdzie P to dowolny punkt. To jednak dość nietrywialne.

Możesz użyć twierdzenia o niezmienniczości wymiaru, które jest nieco łatwiejsze. Każdy dowód o braku homeomorfizmu jest nieelementarny.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 25 cze 2017, o 11:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 917
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Mam coś takiego, choć nie bardzo rozumiem co w tym krótkim dowodzie się dzieje:
Przypuśćmy, że istnieje taki homeomorfizm. f: \mathbb{R}^n  \rightarrow \mathbb{R}^m i niech [m<n.
Mamy wtedy S^k \subset \mathbb{R}^{m+1} \subset \mathbb{R}^n gdzie m+1 \le n.
Mamy : \mathbb{R}^n \supset \mathbb{R}^{m+1}  \times \left\{ 0\right\} x\left\{ 0\right\} ...  \times \left\{ 0\right\}.
f_{|S^k} S^k \rightarrow \mathbb{R}^k homeomorfizm na obraz.
f_{|S^k} \rightarrow f(S^k) bijekcja. I mamy sprzeczność z tw. Borsuka-Ulama o antypodach.S
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 12:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2349
Lokalizacja: Radom
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Borsuka-Ulama

W \RR^{n} znajdujesz podprzestrzeń homeomroficzną z \RR^{m+1} - w nie jsiedzi S^{m} patrzysz na zlożenie inkluzji S^{m} \rightarrow \RR^{m+1} \rightarrow \RR^{n} i składasz to z tym homeomorfizmem. Dostałes zanurzenie S^{m} w \RR^{m}.
Ale dowod Tw. Borsuka-Ulama wymaga wiecej aparatu, niz sitwierdzenie:
f:\RR^{n} \rightarrow \RR^{m} homeomorfizm daje nam homotopijną równoważność S^{n-1} \rightarrow S^{m-1} (czyli to co sugeruje Klepacz)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 25 cze 2017, o 14:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 917
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Dziękuję.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 homeomorfizm, metryka dyskretna, zwartość  ffantasmagoria  3
 Pokazać,czy metryka  gardner  2
 pokazać, że jeśli metryki  flannery1990  3
 homeomorfizm podprzestrzeni  marinstarel  1
 homeomorfizm - zadanie 3  psikus  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl