szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 00:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 983
Lokalizacja: Jasło/Kraków
W jaki sposób pokazać, iż \mathbb{R}^n homeomorficzne z \mathbb{R}^m wtedy i tylko wtedy gdy n=m. Z prawej w lewo to oczywiste w drugą stronę już nie za bardzo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 00:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18427
Lokalizacja: Cieszyn
Nie mam gotowej odpowiedzi, ale wiem dlaczego prosta nie jest homeomorficzna z płaszczyzną. Jeśli z prostej usuniemy punkt, to powstała podprzestrzeń jest niespójna. Jeśli usunąć punkt z płaszczyzny, to powstała podprzestrzeń pozostanie spójna. A obraz ciągły przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną.

Podobnie wycięcie okręgu z płaszczyzny rozspaja ją, zaś z przestrzeni \RR^{n+2} nie.

Spróbuj pokombinować w tym kierunku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 01:14 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Gliwice
szw1710, sugeruje tutaj użycie wyższych grup homotopii dla przestrzeni \mathbb R^n\setminus \{P\}, gdzie P to dowolny punkt. To jednak dość nietrywialne.

Możesz użyć twierdzenia o niezmienniczości wymiaru, które jest nieco łatwiejsze. Każdy dowód o braku homeomorfizmu jest nieelementarny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 12:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 983
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Mam coś takiego, choć nie bardzo rozumiem co w tym krótkim dowodzie się dzieje:
Przypuśćmy, że istnieje taki homeomorfizm. f: \mathbb{R}^n  \rightarrow \mathbb{R}^m i niech [m<n.
Mamy wtedy S^k \subset \mathbb{R}^{m+1} \subset \mathbb{R}^n gdzie m+1 \le n.
Mamy : \mathbb{R}^n \supset \mathbb{R}^{m+1}  \times \left\{ 0\right\} x\left\{ 0\right\} ...  \times \left\{ 0\right\}.
f_{|S^k} S^k \rightarrow \mathbb{R}^k homeomorfizm na obraz.
f_{|S^k} \rightarrow f(S^k) bijekcja. I mamy sprzeczność z tw. Borsuka-Ulama o antypodach.S
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 13:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2774
Lokalizacja: Radom
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Borsuka-Ulama

W \RR^{n} znajdujesz podprzestrzeń homeomroficzną z \RR^{m+1} - w nie jsiedzi S^{m} patrzysz na zlożenie inkluzji S^{m} \rightarrow \RR^{m+1} \rightarrow \RR^{n} i składasz to z tym homeomorfizmem. Dostałes zanurzenie S^{m} w \RR^{m}.
Ale dowod Tw. Borsuka-Ulama wymaga wiecej aparatu, niz sitwierdzenie:
f:\RR^{n} \rightarrow \RR^{m} homeomorfizm daje nam homotopijną równoważność S^{n-1} \rightarrow S^{m-1} (czyli to co sugeruje Klepacz)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 15:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 983
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Dziękuję.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kule a homeomorfizm.  sardom  6
 Homeomorfizm - kula jednostkowa i trójkąt  duze_jablko2  4
 homeomorfizm, homotopia 2zadania  mlotek200  3
 Pokazać, że dana rodzina zbiorów nie jest topologią  nieOna3  2
 Wydzielone: pokazać domkniętość przeciwobrazu.  PeWuEr  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl